【洛谷P7099】灼

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7099

这里是 NS05，勒本星球已无生命反应，请求救援！普尔！——你听得到吗？我会一直在这里，等待你的归来。

扶苏被困在了勒本星球，灼闻羽驾驶着一架宇宙飞船正打算穿越虫洞到达勒本星球拯救扶苏。
在一条数轴上有 (n) 个虫洞，第 (i) 个虫洞的坐标为 (x_i)。进入这些虫洞的任意一个都可以直接到达勒本星球拯救扶苏。飞船到达数轴所在直线上后，会因为磁场的效应失去操控能力，飞船每秒会等概率向左或向右移动一个单位长度。
灼闻羽非常焦急，他给出了 (q) 个飞船进入数轴所在直线的初始坐标，对于每个坐标，他想知道期望需要多少秒才能到达一个虫洞。
如果你计算出的期望是个分数，你需要求出这个分数对 (998244353) 取模的答案。有关分数取模的定义你可以参考「提示」中的内容。
为了避免输出过大，你只需要输出四个整数，分别表示你所有回答（对 (998244353) 取模之后，下同）的按位异或之和、你共有多少次回答的答案是奇数，你的所有答案中的最大值、你的所有答案中的最小值。

(nleq10^5,qleq 5 imes 10^6,1leq x_i,y_ileq 10^9,y_ileq y_{i+1})。

思路

设 (f_i) 表示位置 (i) 到达左右的虫洞之一的期望步数。
那么必然有 (f_i=frac{f_{i+1}+f_{i-1}}{2}+1)。等价于 (2f_i=f_{i+1}+f_{i-1}+2)，等价于 ((f_{i+1}-f_i)-(f_i-f_{i-1})=-2)。
发现 (f) 的二阶差分是一个定值，所以 (f) 应该是一个二次函数。
设 (f(x)=ax^2+bx+c)，那么 (f(x+1)=a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c,f(x-1)=a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c)。
那么 ((f(x+1)-f(x))-(f(x)-f(x-1))=2a=-2)，所以 (a=2)。
对于一个点 (x)，找到左右最近的两个虫洞 (l,r)，因为 (f(l)=f(r)=0)，所以

[left{egin{matrix}-l^2+bl+c=0 \ -r^2+br+c=0 end{matrix} ight. ]

则 (b(r-l)=r^2-l^2,b=l+r)。最后带入 (x=l) 得到 (c=-lr)。
所以我们得到了 (f(x)=-x^2+(l+r)x-lr)。将虫洞排序后每次询问可以做到 (O(1)) 回答。
时间复杂度 (O(nlog n+Q))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010,MOD=998244353;
int n,Q,a[N];
ll ans1,ans2,ans3,ans4;

int read()
{
	int d=0; char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

int main()
{
	read(); n=read(); Q=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n);
	ans4=9e18;
	for (int i=1,j=1;i<=Q;i++)
	{
		int x=read();
		while (j<n && a[j+1]<=x) j++;
		ll res=((-1LL*x*x+1LL*(a[j]+a[j+1])*x-1LL*a[j]*a[j+1])%MOD+MOD)%MOD;
		ans1^=res; ans2+=res&1; ans3=max(ans3,res); ans4=min(ans4,res);
	}
	cout<<ans1<<"
"<<ans2<<"
"<<ans3<<"
"<<ans4;
	return 0;
}