【ARC122C】Calculator

题目

题目链接：https://atcoder.jp/contests/arc122/tasks/arc122_c
有两个变量 (x,y)，初始时均为 (0)。
可以执行以下操作不超过 (130) 次：

1. 让 (x) 赋值为 (x+1)。
2. 让 (y) 赋值为 (y+1)。
3. 让 (x) 赋值为 (x+y)。
4. 让 (y) 赋值为 (x+y)。

给定一个数字 (n)，要求给出一个操作序列使得依次操作后 (x) 的值等于 (n)。
(nleq 10^{18})。

思路

我们发现操作 (3,4) 其实就是在计算斐波那契数列。而众所周知任意一个正整数 (n) 都可以被拆分为若干个不同的斐波那契数的和，所以考虑用斐波那契数的和凑出 (n)。
如果 (n) 就是斐波那契数列中的一项，那么只需要先进行一次操作 (1)，然后不断进行操作 (3,4,3,4) 即可。
如果 (n) 等于斐波那契数列的第 (a_1,a_2cdots a_k(a_1<a_2<cdots<a_k)) 项之和，那么我们先按照上述方法构造出一个序列使得 (x=a_k)，然后在倒数第 (a_i(1leq i<k)) 次操作后面加入一个 (1) 或 (2)（往 (x) 和 (y) 中大的那一个上面加），那么最终的结果就是 (a_1+a_2+cdots+a_k=n) 了。
例如 (17=1+3+13)，构造方法如下：

[(0,0) o (1,0) o (1,1) o (2,1) o (2,3) o (2,3+1) o (5+1,3+1) o (5+1,8+2) o (13+3,8+2) o (13+3+1,8+2) ]

注意有可能操作后是 (y) 为 (n)，此时把操作取反一下即可。
操作次数的话，斐波那契数列第 (88) 项超过了 (10^{18})，所以操作 (3,4) 的次数最多是 (87)，操作 (1,2) 的次数为 (n) 拆分成的斐波那契数的数量，由于不可能拆分成相邻的两个斐波那契数（他们的和等于下一个斐波那契数），且斐波那契数列第一项和第二项都是 (1)，所以至多拆分为 ( ext{fib}_2+ ext{fib}_4+cdots+ ext{fib}_{86})，一共 (43) 项。所以操作次数上界为 (87+43=130)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100;
const ll Inf=1e18;
ll n,m,p,fib[N];
queue<int> q;
vector<int> a;

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	fib[1]=1; p=n;
	for (m=2;fib[m-1]<=n;m++)
		fib[m]=fib[m-1]+fib[m-2];
	for (int i=m;i>=1;i--)
		if (p>=fib[i]) p-=fib[i],a.push_back(i);
	a.push_back(2);
	int v=(!(a[0]&1))+3;
	for (int i=1;i<a.size()-1;i++)
	{
		q.push(5-v);
		for (int j=a[i];j>a[i+1];j--)
			q.push(v),v=7-v;
	}
	q.push(3);
	cout<<q.size()<<"
";
	for (;q.size();q.pop())
		cout<<q.front()<<"
";
	return 0;
}