【YbtOJ#652】集合比较

题目

题目链接：https://www.ybtoj.com.cn/contest/118/problem/1

(nleq 50000)。

思路

很容易想到平衡树。但是我们在插入 (x) 时，需要知道 (a_x,b_x) 的排名，以及平衡树上当前节点的 (a,b) 排名，这样才可以更好比较。
这启发我们给平衡树中每一个点一个权值表示排名，需要保证按照中序遍历整棵平衡树后权值严格递增。
所以我们可以给每一个点一个排名区间 ([l,r])，取权值 (mid=frac{l+r}{2})，然后左子节点的排名区间为 ([l,mid])，右子树为 ([mid,r])。可以使用 double，精度与平衡树深度正相关。
但是这样当我们旋转平衡树的时候需要重构整棵子树的权值，所以我们必须采用重量平衡树来保证复杂度。我采用的是 Treap。每次旋转完之后直接暴力重构子树区间即可。
为什么时间复杂度是正确的呢？陈立杰的论文《重量平衡树和后缀平衡树在信息学奥赛中的应用》中给出了简洁的证明：

注意当两个点排名相等时需要进行一些操作将两个点合并。直接把第二个点打个标记到第一个点即可。
时间复杂度 (O(nlog n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50010;
const double eps=1e-8,Inf=1e12;
int n,rt,a[N],b[N],num[N];
double id[N];

struct Treap
{
	int tot,val[N],cnt[N],siz[N],dat[N],lc[N],rc[N];
	double rk[N][2];
	
	int check(int x,int y)
	{
		if (fabs(id[a[x]]-id[a[y]])>eps) return id[a[x]]<id[a[y]];
		if (fabs(id[b[x]]-id[b[y]])>eps) return id[b[x]]<id[b[y]];
		return 2;
	}
	
	void pushup(int x)
	{
		siz[x]=siz[lc[x]]+siz[rc[x]]+cnt[x];
	}
	
	void pushdown(int x,double l,double r)
	{
		double mid=(l+r)/2.0;
		rk[x][0]=l; rk[x][1]=r; id[val[x]]=mid;
		if (lc[x]) pushdown(lc[x],l,mid);
		if (rc[x]) pushdown(rc[x],mid,r);
	}
	
	int New(int v,double l,double r)
	{
		int p=++tot;
		val[p]=v; cnt[p]=siz[p]=1; dat[p]=rand();
		rk[p][0]=l; rk[p][1]=r; id[v]=(l+r)/2.0;
		return p;
	}
	
	void build()
	{
		rt=New(0,0,Inf); rc[rt]=New(n+1,Inf/2.0,Inf);
		pushup(rt); 
	}
	
	void zig(int &x)
	{
		int y=lc[x],c=rc[y];
		double l=rk[x][0],r=rk[x][1];
		lc[x]=c; rc[y]=x; x=y;
		pushup(rc[x]); pushup(x);
		pushdown(x,l,r);
	}
	
	void zag(int &x)
	{
		int y=rc[x],c=lc[y];
		double l=rk[x][0],r=rk[x][1];
		rc[x]=c; lc[y]=x; x=y;
		pushup(lc[x]); pushup(x);
		pushdown(x,l,r);
	}
	
	int ins(int x,int k,double l,double r)
	{
		if (!x) { x=New(k,l,r); return x; }
		double mid=(l+r)/2.0;
		int f=check(k,val[x]);
		if (f==2) cnt[x]++,num[k]=val[x];
		if (f==1)
		{
			lc[x]=ins(lc[x],k,l,mid);
			if (dat[lc[x]]>dat[x]) zig(x);
		}
		if (f==0)
		{
			rc[x]=ins(rc[x],k,mid,r);
			if (dat[rc[x]]>dat[x]) zag(x);
		}
		pushup(x);
		return x;
	}
	
	int query(int x,int k)
	{
		int f=check(k,val[x]);
		if (f==2) return siz[lc[x]]+cnt[x];
		if (f==1) return query(lc[x],k);
		if (f==0) return query(rc[x],k)+siz[lc[x]]+cnt[x];
	}
}treap;

int main()
{
	freopen("comparison.in","r",stdin);
	freopen("comparison.out","w",stdout);
	srand(1023);
	scanf("%d",&n);
	treap.build();
	a[n+1]=b[n+1]=num[n+1]=n+1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		a[i]=num[a[i]]; b[i]=num[b[i]]; num[i]=i;
		rt=treap.ins(rt,i,0,Inf);
		printf("%d
",treap.query(rt,i));
	}
	return 0;
}