• 【AGC029F】Construction of a tree


    题目

    题目链接:https://atcoder.jp/contests/agc029/tasks/agc029_f
    给定 (n-1) 个点集(全集为 ({1,2,...,n})), 从每个集合内选两个点连边, 使得最后形成一棵树。
    输出方案。
    (nleq 10^5,sum mleq 2 imes 10^5)

    思路

    考虑建立一张二分图,其中左边是每一个点,右边是每一个集合。如果 (xin A),那么从点 (x) 向集合 (A) 连一条流量为 (1) 的边。
    然后不难发现一个有解的必要条件:除去根节点以外,这张二分图存在完美匹配。因为如果有解,那么每一个点向他父节点都在的集合流即可。
    根节点可以任意选,在代码中为了方便,我取根节点为 (n)
    接下来考虑如下构造:求出每一个集合是从哪个点流过来的流量 (mathrm{num_i}),从 (n) 开始 bfs,每次尝试将队首的点所在的所有集合的 (mathrm{num}) 连边。不难发现这样一定会构造出一棵树,所以这个条件恰好是充分的。
    复杂度就是二分图网络流的复杂度 (O(sum msqrt{n}))

    代码

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
     
    const int N=300010,Inf=1e9;
    int n,S,T,maxf,tot=1,head[N],cur[N],dep[N],num[N],ans[N][2];
    bool vis[N];
     
    struct edge
    {
    	int next,to,flow;
    }e[N*4];
     
    void add(int from,int to,int flow)
    {
    	e[++tot]=(edge){head[from],to,flow};
    	head[from]=tot;
    }
     
    bool bfs()
    {
    	memset(dep,0x3f3f3f3f,sizeof(dep));
    	memcpy(cur,head,sizeof(cur));
    	queue<int> q;
    	q.push(S); dep[S]=1;
    	while (q.size())
    	{
    		int u=q.front(); q.pop();
    		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
    		{
    			int v=e[i].to;
    			if (e[i].flow && dep[v]>dep[u]+1)
    			{
    				dep[v]=dep[u]+1;
    				q.push(v);
    			}
    		}
    	}
    	return dep[T]<Inf;
    }
     
    int dfs(int x,int flow)
    {
    	if (x==T) return flow;
    	int used=0,res;
    	for (int i=cur[x];~i;i=e[i].next)
    	{
    		int v=e[i].to; cur[x]=i;
    		if (e[i].flow && dep[v]==dep[x]+1)
    		{
    			res=dfs(v,min(flow-used,e[i].flow));
    			used+=res;
    			e[i].flow-=res; e[i^1].flow+=res;
    			if (used==flow) return used;
    		}
    	}
    	return used;
    }
     
    void dinic()
    {
    	while (bfs())
    		maxf+=dfs(S,Inf);
    }
     
    void bfs1()
    {
    	queue<int> q;
    	q.push(n);
    	while (q.size())
    	{
    		int u=q.front(); q.pop();
    		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
    		{
    			int v=e[i].to;
    			if (v!=S && !vis[v])
    			{
    				tot++;
    				ans[v-n][0]=u; ans[v-n][1]=num[v];
    				q.push(num[v]); vis[v]=1;
    			}
    		}
    	}
    }
     
    int main()
    {
    	memset(head,-1,sizeof(head));
    	scanf("%d",&n);
    	S=N-1; T=N-2;
    	for (int i=1,m;i<n;i++)
    	{
    		scanf("%d",&m);
    		for (int j=1,x;j<=m;j++)
    		{
    			scanf("%d",&x);
    			add(x,i+n,1); add(i+n,x,0);
    		}
    		add(S,i,1); add(i,S,0);
    		add(i+n,T,1); add(T,i+n,0);
    	}
    	dinic();
    	if (maxf!=n-1) return printf("-1"),0;
    	for (int i=1;i<n;i++)
    		for (int j=head[i];~j;j=e[j].next)
    			if (e[j].to!=S && !e[j].flow)
    				num[e[j].to]=i;
    	tot=0; bfs1();
    	if (tot<n-1) return printf("-1"),0;
    	for (int i=1;i<n;i++)
    		printf("%d %d
    ",ans[i][0],ans[i][1]);
    	return 0;
    }
    
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