题目
题目链接:https://atcoder.jp/contests/agc029/tasks/agc029_f
给定 (n-1) 个点集(全集为 ({1,2,...,n})), 从每个集合内选两个点连边, 使得最后形成一棵树。
输出方案。
(nleq 10^5,sum mleq 2 imes 10^5)。
思路
考虑建立一张二分图,其中左边是每一个点,右边是每一个集合。如果 (xin A),那么从点 (x) 向集合 (A) 连一条流量为 (1) 的边。
然后不难发现一个有解的必要条件:除去根节点以外,这张二分图存在完美匹配。因为如果有解,那么每一个点向他父节点都在的集合流即可。
根节点可以任意选,在代码中为了方便,我取根节点为 (n)。
接下来考虑如下构造:求出每一个集合是从哪个点流过来的流量 (mathrm{num_i}),从 (n) 开始 bfs,每次尝试将队首的点所在的所有集合的 (mathrm{num}) 连边。不难发现这样一定会构造出一棵树,所以这个条件恰好是充分的。
复杂度就是二分图网络流的复杂度 (O(sum msqrt{n}))。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300010,Inf=1e9;
int n,S,T,maxf,tot=1,head[N],cur[N],dep[N],num[N],ans[N][2];
bool vis[N];
struct edge
{
int next,to,flow;
}e[N*4];
void add(int from,int to,int flow)
{
e[++tot]=(edge){head[from],to,flow};
head[from]=tot;
}
bool bfs()
{
memset(dep,0x3f3f3f3f,sizeof(dep));
memcpy(cur,head,sizeof(cur));
queue<int> q;
q.push(S); dep[S]=1;
while (q.size())
{
int u=q.front(); q.pop();
for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (e[i].flow && dep[v]>dep[u]+1)
{
dep[v]=dep[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
return dep[T]<Inf;
}
int dfs(int x,int flow)
{
if (x==T) return flow;
int used=0,res;
for (int i=cur[x];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to; cur[x]=i;
if (e[i].flow && dep[v]==dep[x]+1)
{
res=dfs(v,min(flow-used,e[i].flow));
used+=res;
e[i].flow-=res; e[i^1].flow+=res;
if (used==flow) return used;
}
}
return used;
}
void dinic()
{
while (bfs())
maxf+=dfs(S,Inf);
}
void bfs1()
{
queue<int> q;
q.push(n);
while (q.size())
{
int u=q.front(); q.pop();
for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if (v!=S && !vis[v])
{
tot++;
ans[v-n][0]=u; ans[v-n][1]=num[v];
q.push(num[v]); vis[v]=1;
}
}
}
}
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d",&n);
S=N-1; T=N-2;
for (int i=1,m;i<n;i++)
{
scanf("%d",&m);
for (int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);
add(x,i+n,1); add(i+n,x,0);
}
add(S,i,1); add(i,S,0);
add(i+n,T,1); add(T,i+n,0);
}
dinic();
if (maxf!=n-1) return printf("-1"),0;
for (int i=1;i<n;i++)
for (int j=head[i];~j;j=e[j].next)
if (e[j].to!=S && !e[j].flow)
num[e[j].to]=i;
tot=0; bfs1();
if (tot<n-1) return printf("-1"),0;
for (int i=1;i<n;i++)
printf("%d %d
",ans[i][0],ans[i][1]);
return 0;
}