【洛谷P4173】残缺的字符串

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4173
很久很久以前，在你刚刚学习字符串匹配的时候，有两个仅包含小写字母的字符串(A)和(B)，其中(A)串长度为(m)，(B)串长度为(n)。可当你现在再次碰到这两个串时，这两个串已经老化了，每个串都有不同程度的残缺。
你想对这两个串重新进行匹配，其中(A)为模板串，那么现在问题来了，请回答，对于(B)的每一个位置(i)，从这个位置开始连续(m)个字符形成的子串是否可能与(A)串完全匹配?
(mleq nleq 3 imes 10^5)。

思路

给每一个字母一个权值，那么一个区间 ([l,r]) 如果可以匹配，那么必然满足

[sum^{r}_{i=l}a_ib_i(a_i-b_i)^2=0 ]

设 (f_i) 表示位置 (i) 的权值（也就是如果上式 (l=i,r=i+n-1)），那么有

[f_i=sum^{n}_{j=1}a_jb_{i+j-1}(a_j-b_{i+j-1})^2 ]

不难想到把 (a) 逆序，拆开括号，并且把 (a_{n+1sim m}) 设为 (0)，

[f_{m-i}=sum^{m}_{j=1}a_{m-j}^3b_{i+j}+sum^{m}_{j=1}a_{m-j}b^3_{i+j}-sum^{m}_{j=1}2a_{m-j}^2b_{i+j}^2 ]

跑三次 FFT 即可。常数较大，开 O2 才过。
时间复杂度 (O(nlog n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define cp complex<double>
using namespace std;

const int N=1050000;
const double eps=0.5,pi=acos(-1);
int n,m,lim,a[N],b[N],rev[N];
cp f[N],g[N],h[3][N];
char s[N],t[N];
queue<int> qans;
int c[N];

void FFT(cp *f,int tag)
{
	for (int i=0;i<lim;i++)
		if (i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
	for (int k=1;k<lim;k<<=1)
	{
		cp tmp(cos(pi/k),tag*sin(pi/k));
		for (int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
		{
			cp w(1,0);
			for (int j=0;j<k;j++,w=w*tmp)
			{
				cp x=f[i+j],y=w*f[i+j+k];
				f[i+j]=x+y; f[i+j+k]=x-y;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d%s%s",&n,&m,s+1,t+1);
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=(s[i]-'a'+1)*(s[i]!='*');
	for (int i=1;i<=m;i++) b[i]=(t[i]-'a'+1)*(t[i]!='*');
	reverse(a+1,a+1+m);
	lim=1;
	while (lim<=2*m) lim<<=1;
	for (int i=0;i<lim;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);
	
	for (int i=0;i<lim;i++)
	{
		f[i]=cp(1.0*a[i]*a[i]*a[i],0);
		g[i]=cp(1.0*b[i],0);
	}
	FFT(f,1); FFT(g,1);
	for (int i=0;i<lim;i++) h[0][i]=f[i]*g[i];
	FFT(h[0],-1);
	
	for (int i=0;i<lim;i++)
	{
		f[i]=cp(1.0*a[i],0);
		g[i]=cp(1.0*b[i]*b[i]*b[i],0);
	}
	FFT(f,1); FFT(g,1);
	for (int i=0;i<lim;i++) h[1][i]=f[i]*g[i];
	FFT(h[1],-1);
	
	for (int i=0;i<lim;i++)
	{
		f[i]=cp(2.0*a[i]*a[i],0);
		g[i]=cp(1.0*b[i]*b[i],0);
	}
	FFT(f,1); FFT(g,1);
	for (int i=0;i<lim;i++) h[2][i]=f[i]*g[i];
	FFT(h[2],-1);
	
	for (int i=1;i<=m-n+1;i++)
		if (fabs((h[0][m+i].real()+h[1][m+i].real()-h[2][m+i].real())/lim)<eps)
			qans.push(i);
	printf("%d
",qans.size());
	for (;qans.size();qans.pop())
		printf("%d ",qans.front());
	return 0;
}