【SSLOJ1457】树

题目

梦游中的你来到了一棵 \(N\) 个节点的树上. 你一共做了 \(Q\) 个梦, 每个梦需要你从点 \(u\) 走到 点 \(v\) 之后才能苏醒, 由于你正在梦游, 所以每到一个节点后,你会在它连出去的边中等概率地 选择一条走过去, 为了确保第二天能够准时到校, 你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏 醒. 为了避免精度误差, 你要输出答案模 \(10^9+7\) 的结果。

思路

设 \(f[x]\) 表示 \(x\) 走到其父亲的期望步数。分类有

\[f[x]=\frac{1+\sum_{y\in \operatorname{son(x)}}(1+f[y])}{k} \]

移项得 \(f[x]=1+\sum_{y\in \operatorname{son(x)}}(1+f[y])\)。
设 \(g[x]\) 表示 \(x\) 从其父亲走到 \(x\) 的期望步数。分类有

\[g[x]=\frac{1+(1+g[x]+g[y])+\sum_{p\in \operatorname{brother(y)}}(1+f[p]+g[y])}{k} \]

移项得 \(f[y]=2+g[x]+\sum_{p\in \operatorname{brother(x)}}(1+f[p])\)。
发现后面的 \(\sum\) 和 \(f[x]\) 很像，简单换元可得 \(g[y]=g[x]+f[x]-f[y]\)。
多么优美的式子啊233。
然后求出 \(f,g\)，树上前缀和求路径期望即可。
时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=500010,MOD=1e9+7,LG=30;
int n,tot,Q,fa[N][LG+1],dep[N],head[N];
ll f[N],g[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dfs1(int x,int ff)
{
	fa[x][0]=ff; dep[x]=dep[ff]+1;
	for (int i=1;i<=LG;i++)
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	f[x]=1;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=ff)
		{
			dfs1(v,x);
			f[x]=(f[x]+1+f[v])%MOD;
		}
	}
}

void dfs2(int x,int ff)
{
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=ff)
		{
			g[v]=(g[x]+f[x]-f[v])%MOD;
			dfs2(v,x);
		}
	}
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			x=fa[x][i];
			y=fa[y][i];
		}
	return fa[x][0];
}

void dfs3(int x,int ff)
{
	f[x]+=f[ff]; g[x]+=g[ff];
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=ff) dfs3(e[i].to,x);
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	dfs1(1,0);
	f[1]--;
	dfs2(1,0); dfs3(1,0);
	while (Q--)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		int p=lca(u,v);
		printf("%lld\n",((f[u]-f[p]+g[v]-g[p])%MOD+MOD)%MOD);
	}
	return 0;
}