【洛谷P2619】Tree I

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2619
给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 \(t\) 条白色边的生成树。
题目保证有解。

思路

考虑给每条白边增加一个附加权 \(k\)，也就是第 \(i\) 条白边的长度为 \(dis[i]+k\)，显然，最小生成树白边的数量随着 \(k\) 的增大而减小。
而当某一时刻白边的数量正好为 \(t\) 的时候，设原图的最小生成树边权和为 \(s\)，经过处理的最小生成树边权和为 \(s'\)，那么有 \(s=s'-k\times t\)。
由于我们已经知道随着 \(k\) 的增大白边的数列单调递减，所以可以二分这个 \(k\)。
时间复杂度 \(O(m\log n\log dis[i])\)。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=50010,M=100010;
int n,m,t,l,r,mid,ans,father[N];

struct edge
{
	int u,v,dis,col;
}e[M];

bool cmp(edge x,edge y)
{
	if (x.dis<y.dis) return 1;
	if (x.dis>y.dis) return 0;
	return x.col<y.col;
}

int find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);
}

int kruskal()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
		father[i]=i;
	int cnt=0,sum=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v);
		if (x!=y)
		{
			if (!e[i].col) cnt++;
			father[x]=y;
			sum+=e[i].dis;
		}
	}
	if (cnt>=t) ans=sum-mid*t;
	return cnt;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].dis,&e[i].col);
		e[i].u++; e[i].v++;
	}
	l=-100; r=100;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		for (int i=1;i<=m;i++)
			if (!e[i].col) e[i].dis+=mid;
		sort(e+1,e+1+m,cmp);
		if (kruskal()>=t) l=mid+1;
			else r=mid-1;
		for (int i=1;i<=m;i++)
			if (!e[i].col) e[i].dis-=mid;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}