洛谷 P2568 GCD（欧拉定理 | | 莫比乌斯反演）

题目描述

给定整数N，求1<=x,y<=N（N<=1e7）且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

输入输出样例

输入样例#1：
4
输出样例#1：
4

题解

此题有两种解法。
1.欧拉函数
很明显，可以枚举素数p，计算n/p的phi，然后统计出来乘以2，最后再特判x==y且x,y为素数的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,cnt;
ll phi[10000001];
int vis[10000001];
int prime[10000001];
ll sum=0;
void init(){
    for(register int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            int k=i*prime[j];
            vis[k]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[k]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else{
                phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
        phi[i]=phi[i-1]+(phi[i]<<1);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(register int i=1;i<=cnt;i++){
        sum+=phi[n/prime[i]]+1;
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}

2.莫比乌斯反演
当1<=x<=n,1<=y<=m时，欧拉函数的求法就不管用了，这时我们可以用莫比乌斯反演来简化计算。
我们设

f(n)=∑d|n[gcd(x,y)==d]

设

F(n)=∑d|nf(d)

根据莫比乌斯反演定理可得

f(n)=∑d|nμ(n/d)∗F(d)

而F(d)的值可以通过它的定义发现

F(d)=(n/d)∗(n/d)

即

f(n)=∑d|nμ(n/d)∗((n/d)∗(n/d))

枚举质数，暴力累计答案即可。
（此方法在洛谷70，TLE*3，在bzojAC）
此题升级版：洛谷P3455

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
int mu[10000001];
int cnt;
bool vis[10000001];
int prime[5000001];
void init(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            int k=i*prime[j];
            vis[k]=1;
            if(i%prime[j]){
                mu[k]=-mu[i];
            }
            else{
                mu[k]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    init(n);
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=cnt;i++){
        ll lim=n/prime[i];
        for(ll j=1;j<=lim;j++){
            ans+=mu[j]*((lim)/j)*((lim)/j);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

考虑优化。
我不会推公式，就借dalao的公式一用吧（滑稽）

然后就可以分块搞了。。。
（其实跑的还挺快的，时间和欧拉几乎相同）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
int mu[10000001];
int cnt;
bool vis[10000001];
int prime[5000001];
void init(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
            int k=i*prime[j];
            vis[k]=1;
            if(i%prime[j]){
                mu[k]=-mu[i];
            }
            else{
                mu[k]=0;
                break;
            }
        }
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}
int main(){
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    init(n);
    ll ans=0;
    for(ll k=1;k<=cnt;++k){
        ll m=n/prime[k];
        ll j;
        for(ll i=1;i<=m;i=j+1){
            ll mul=m/i;
            j=min(m,m/mul);
            ans+=mul*mul*(mu[j]-mu[i-1]);
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}