一个问题的解法（兔子三个月之后每月都生兔子的问题）

     今天看到一个问题，其实是老问题了，心血来潮，就解决了一下，问题如下：

     有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数？

  这个问题想了有一个小时才想明白，看来智力水平一般，如果要是去面试这道题，肯定不行，所以还是记下来。

  将兔子分为3类，一类是可以生兔子的，一类是出生一个月的，一类是出生两个月的，这样做一个简单图表如下：

 

月份	0	1	2	3	4	5
可以生产的兔子	1	1	1	2	3	4
1个月大的兔子	0	1	1	1	2	3
2个月大的兔子	0	0	1	1	1	2

  可以看出如下的等式

       某月的可以生育的兔子=上月可以生育的兔子+上月出生2月的兔子

       某月的一月的兔子=上月可以生育的兔子

       某月的二月的兔子=上月为1月的兔子

       即：上月可以生育的兔子产生了等数量的1月的兔子，上月1月的兔子变成了2月的兔子，上月2月的兔子变成可以生育的兔子

 所以可以构建一个数组表示：

      a[n+1][0]=a[n][0]+a[n][2]

      a[n+1][1]=a[n][0]

      a[n+2][2]=a[n][1]

     其中a[0][0]=1,a[0][1]=0,a[0][2]=0

 这很容易用递归函数求出月龄不同的兔子数量，总量只要加起来就可以了，用任何语言实现起来都很容易，下面用Java实现：

package rabbit;


/**
 *
 * @author flysy
 */
public class rabbitNum {
    public static long getRabbitNum(int k, int i) {
        if ((k == 0) && (i == 0)) {
            return 1;
        }

        if ((k == 0) && (i == 1)) {
            return 0;
        }

        if ((k == 0) && (i == 2)) {
            return 0;
        }

        if (i == 0) {
            return getRabbitNum(k - 1, 0) + getRabbitNum(k - 1, 2);
        }

        if (i == 1) {
            return getRabbitNum(k - 1, 0);
        }

        if (i == 2) {
            return getRabbitNum(k - 1, 1);
        }

        return 0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("i	3月	2月	1月	总量");

        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            long s0 = getRabbitNum(i, 0);
            long s1 = getRabbitNum(i, 1);
            long s2 = getRabbitNum(i, 2);
            long sum = s0 + s1 + s2;
            System.out.println(i + "	" + s0 + "	" + s1 + "	" + s2 + "	" + sum);
        }
    }
}

因为兔子增长的很快，所以用long类型取代int型，输出如下

i    3月    2月    1月    总量
0    1    0    0    1
1    1    1    0    2
2    1    1    1    3
3    2    1    1    4
4    3    2    1    6
5    4    3    2    9
6    6    4    3    13
7    9    6    4    19
8    13    9    6    28
9    19    13    9    41
10    28    19    13    60
11    41    28    19    88
12    60    41    28    129
.........................

这种方式的问题是重复递归的太厉害，在我的电脑上输出到45之后，就变得非常慢了。所以需要优化一下，可以保存一下中间变量，避免重复递归，修改的程序如下：

/*
 * To change this license header, choose License Headers in Project Properties.
 * To change this template file, choose Tools | Templates
 * and open the template in the editor.
 */
package rabbit;

/**
 *
 * @author flysy
 */
public class RabbitNum1 {
    static long a[][] = new long[1000][3];    

    public static long getRabbitNum(int k, int i) {
        if (k == 0) {
            return a[k][i];
        } else {
            for (int m = 0; m < 3; m++) {
                if (a[k - 1][m] == 0) {
                    a[k - 1][m] = getRabbitNum(k - 1, m);
                }
            }
            if (i == 0) {
                return a[k - 1][0] + a[k - 1][2];
            }
            if (i == 1) {
                return a[k - 1][0];
            }
            if (i == 2) {
                return a[k - 1][1];
            }
            return 0;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        a[0][0]=1;
        System.out.println("i	3月	2月	1月	总量");
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            long s0 = getRabbitNum(i, 0);
            long s1 = getRabbitNum(i, 1);
            long s2 = getRabbitNum(i, 2);
            long sum = s0 + s1 + s2;
            System.out.println(i + "	" + s0 + "	" + s1 + "	" + s2 + "	" + sum);
        }
    } 
}

结果是瞬间就出来了，如下：

i    3月    2月    1月    总量
0    1    0    0    1
1    1    1    0    2
2    1    1    1    3
3    2    1    1    4
4    3    2    1    6
5    4    3    2    9
6    6    4    3    13
7    9    6    4    19
8    13    9    6    28
9    19    13    9    41
10    28    19    13    60
11    41    28    19    88
12    60    41    28    129
13    88    60    41    189
14    129    88    60    277
15    189    129    88    406
16    277    189    129    595
17    406    277    189    872
18    595    406    277    1278
19    872    595    406    1873
20    1278    872    595    2745
21    1873    1278    872    4023
22    2745    1873    1278    5896
23    4023    2745    1873    8641
24    5896    4023    2745    12664
25    8641    5896    4023    18560
26    12664    8641    5896    27201
27    18560    12664    8641    39865
28    27201    18560    12664    58425
29    39865    27201    18560    85626
30    58425    39865    27201    125491
31    85626    58425    39865    183916
32    125491    85626    58425    269542
33    183916    125491    85626    395033
34    269542    183916    125491    578949
35    395033    269542    183916    848491
36    578949    395033    269542    1243524
37    848491    578949    395033    1822473
38    1243524    848491    578949    2670964
39    1822473    1243524    848491    3914488
40    2670964    1822473    1243524    5736961
41    3914488    2670964    1822473    8407925
42    5736961    3914488    2670964    12322413
43    8407925    5736961    3914488    18059374
44    12322413    8407925    5736961    26467299
45    18059374    12322413    8407925    38789712
46    26467299    18059374    12322413    56849086
47    38789712    26467299    18059374    83316385
48    56849086    38789712    26467299    122106097
49    83316385    56849086    38789712    178955183
50    122106097    83316385    56849086    262271568
51    178955183    122106097    83316385    384377665
52    262271568    178955183    122106097    563332848
53    384377665    262271568    178955183    825604416
54    563332848    384377665    262271568    1209982081
55    825604416    563332848    384377665    1773314929
56    1209982081    825604416    563332848    2598919345
57    1773314929    1209982081    825604416    3808901426
58    2598919345    1773314929    1209982081    5582216355
59    3808901426    2598919345    1773314929    8181135700
60    5582216355    3808901426    2598919345    11990037126
61    8181135700    5582216355    3808901426    17572253481
62    11990037126    8181135700    5582216355    25753389181
63    17572253481    11990037126    8181135700    37743426307
64    25753389181    17572253481    11990037126    55315679788
65    37743426307    25753389181    17572253481    81069068969
66    55315679788    37743426307    25753389181    118812495276
67    81069068969    55315679788    37743426307    174128175064
68    118812495276    81069068969    55315679788    255197244033
69    174128175064    118812495276    81069068969    374009739309
70    255197244033    174128175064    118812495276    548137914373
71    374009739309    255197244033    174128175064    803335158406
72    548137914373    374009739309    255197244033    1177344897715
73    803335158406    548137914373    374009739309    1725482812088
74    1177344897715    803335158406    548137914373    2528817970494
75    1725482812088    1177344897715    803335158406    3706162868209
76    2528817970494    1725482812088    1177344897715    5431645680297
77    3706162868209    2528817970494    1725482812088    7960463650791
78    5431645680297    3706162868209    2528817970494    11666626519000
79    7960463650791    5431645680297    3706162868209    17098272199297
80    11666626519000    7960463650791    5431645680297    25058735850088
81    17098272199297    11666626519000    7960463650791    36725362369088
82    25058735850088    17098272199297    11666626519000    53823634568385
83    36725362369088    25058735850088    17098272199297    78882370418473
84    53823634568385    36725362369088    25058735850088    115607732787561
85    78882370418473    53823634568385    36725362369088    169431367355946
86    115607732787561    78882370418473    53823634568385    248313737774419
87    169431367355946    115607732787561    78882370418473    363921470561980
88    248313737774419    169431367355946    115607732787561    533352837917926
89    363921470561980    248313737774419    169431367355946    781666575692345
90    533352837917926    363921470561980    248313737774419    1145588046254325
91    781666575692345    533352837917926    363921470561980    1678940884172251
92    1145588046254325    781666575692345    533352837917926    2460607459864596
93    1678940884172251    1145588046254325    781666575692345    3606195506118921
94    2460607459864596    1678940884172251    1145588046254325    5285136390291172
95    3606195506118921    2460607459864596    1678940884172251    7745743850155768
96    5285136390291172    3606195506118921    2460607459864596    11351939356274689
97    7745743850155768    5285136390291172    3606195506118921    16637075746565861
98    11351939356274689    7745743850155768    5285136390291172    24382819596721629
99    16637075746565861    11351939356274689    7745743850155768    35734758952996318