函数梯度及空间曲面切平面
求曲面(线)的 (y=x^2) 在点 (P(1,1)) 处的切线。
解：
令：(f(x,y)=x^2-y)，
则梯度方向为：(
abla f(x,y)=2xi-j)
所以等值面(等高线) (f(x,y)=x^2-y=0) 的在点 (P(1,1)) 处的法向量为：(overrightarrow {n} = (2,-1))
所以，(y=x^2) 在 (P(1,1)) 处的切线(面)方程为：
(2(x-1)-(y-1)=0)
即：(2x-y-1=0)
总结：
首先重申一下梯度的概念：
函数(f(overrightarrow {x}))在某点的梯度是这样一个向量：它指向的方向函数增加最快；此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模。
所谓“梯度垂直于等高线” 是指：
- (f(x,y)) 在某点梯度方向垂直于(f(x,y)=C) 的等高线，而不是垂直于 (f(x,y)) 本身。
- 梯度为等高线在该点的法向量。
- 如果两个等值面法线相等，则这两个等值面相切，且有共同的切平面。
这个材料写的还可以：方向导数与梯度
或者打开学习的正确方式：梯度，方向导数，切平面
画图说明：
如果把 (f(x,y)=x^2-y)当做一个二元函数的取值，并且放在第三个维度来看(f(x,y)) 的取值：
但是，分别取两个等高线 (f(x,y)=x^2-y=0) 和 (f(x,y)=x^2-y=-2) 两个等高线，并分别在 ((1, 1)) 处和 ((1, 3))处根据(f(x,y))的梯度找到做两者的法线方程(图中未画)和切线方程。
现在我们上升一个维度来继续做相同的事情，来加深对概念的理解：
求 (x^2+2y^2+3z^2=6) 在 (P(1,1,1)) 处的法线方程：
解：
令：(f(x,y)=x^2+2y^2+3z^2)，
则梯度方向为：( abla f(x,y,z)=2xi+4j+6z)。
由梯度和等值面的关系可知：隐函数(f(x,y,z))在点(P)处的梯度方向, 就是等值面(f(x,y,z)=6)在(P)处的法向量方向。
所以等值面(等高线) (f(x,y,z)=6) 的在点 (P) 处的法向量为：(overrightarrow {n} = (2,4,6))
所以，(y=x^2) 在 (P(1,1)) 处的切平面方程为：
(2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0)
即：(2x+4y+6z-12=0)
法线方程是：
(dfrac{x-1}{2}=dfrac{y-1}{4}=dfrac{z-1}{6})
或者写作：(x=2t+1, y=4t+1, z=6t+1)
现在，我们画图来理解 (f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2) ，(f(x,y,z)=6)，以及切平面的位置。
不过现在有个问题，因为我们只能看到三维空间中的图像，如果上升到四维，我们在三维空间是表示不了因变量 (f(x,y,z)) 的。所以，只能画出等值面，以及等值面 (f(x,y,z)=6) 的切平面 【注意这个等值面是三维的，不同于我们印象中的二维的等值面(等高线)】
这里提一下对与一维的(f(x))怎么理解梯度方向垂直于等高线：
例如： (x^2 = 4), 则 (f(x)=x^2)，梯度方向为 (
abla f(x)=2xi)，在 (x=2) 处的等高线 (f(x)=4) 为垂直于 (x) 轴的一条直线(整个示意图都在一维坐标上完成)，而由于只有一维，梯度方向就是延 (x) 轴指向正的方向。所以“梯度方向((x)轴)”垂直于“等高线((f(x)=4))”，并且梯度方向指向的是 (f(x))增大的方向。
【lk：这个一维下的概念纯属个人的理解，若有不对之处，望指正。】