01背包问题

参考了http://www.cnblogs.com/qinyg/archive/2012/04/26/2471829.html

关键的状态转移方程如下

令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

用poj3624练手

第一次开二维dp数组，直接超内存

第二次用两个一维数组交替，内存是没超，但是耗时400多ms，而且代码比较丑陋

#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>

using namespace std;


int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int *w = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    int *d = (int*)malloc(sizeof(int)*(n + 1));

    int *dp = (int *)(malloc(sizeof(int)*(m+1)));
    int *dp_t = (int *)(malloc(sizeof(int)*(m + 1)));

    memset(dp, 0, sizeof(int)*(m + 1));

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> d[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(dp_t, 0, sizeof(int)*(m + 1));

        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            int x = dp[j];
            int y = 0;
            if(j >= w[i])
                y = dp[j - w[i]] + d[i];
            dp_t[j] = x < y ? y : x;
            
        }

        memcpy(dp, dp_t, sizeof(int)*(m + 1));
    }

    cout << dp[m] << endl;

    //system("pause");
}

看了一下别人的代码，才发现有更优雅的处理方法，修改后代码如下，耗时也缩短为不到300ms

#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>

using namespace std;

int dp[12900];
int w[3410], d[3410];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> d[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {

        for (int j = m; j > 0; j--)
        {
            int x = dp[j];
            int y = 0;
            if(j >= w[i])
                y = dp[j - w[i]] + d[i];
            dp[j] = x < y ? y : x;
        }
    }

    cout << dp[m] << endl;

    //system("pause");
}