2020杭电多校 5I / HDU 6822

HDU 6822 - Paperfolding

题意

将一张纸折(n)次，四个方向都可以折

折完后取中点，横竖分别切一刀（切十字）

问最后纸被分成的数量的期望（模(998244353)）

思路

可以发现，从左往右与从右往左对答案的影响相同

同理从上往下和从下往上也是相同的

所以四种情况可以合成等概率的两种情况考虑（横向与竖向）

可以发现，如果往同一个方向折(k)次，对于展开后的纸张在对应方向会出现(2^k)条割线，那么纸将会被分为(2^k+1)份

假如当前纸总共要折(n)次，横向折(k)次，竖向则是(n-k)次

所以此时纸张会被分成((2^k+1)*(2^{n-k}+1))份

考虑到概率，对于“总共要折(n)次，横向折(k)次”，也就是在所有折的次数中取(k)次是横向折的，所以出现的次数可以表示成(C_{n}^{k})

又因为折法总共分成了横向与竖向，所以总共的情况数为(2^n)

故期望值就是(sum_{k=0}^{n}frac{C_n^k(2^k+1)(2^{n-k}+1)}{2^n})

先只考虑分子部分

将两个多项式合并，得到((2^n+1+2^k+2^{n-k}))

先考虑(sum_{k=0}^nC_n^k(2^n+1))

由于(sum_{k=0}^nC_n^k=2^n)，所以该部分等价于(2^n(2^n+1))

考虑(sum_{k=0}^nC_n^k(2^k+2^{n-k}))

分别乘上(1^{n-k})以及(1^k)

得到(sum_{k=0}^n(C_n^k2^k1^{n-k}+C_n^k2^{n-k}1^k))

合并二项式，得到((2+1)^n+(2+1)^n=2 imes3^n)

所以整个期望值式子便化简到了(frac{2^n(2^n+1)+2 imes3^n}{2^n}=2^n+1+2 imesfrac{3^n}{2^n})

快速幂加逆元即可

代码

(202ms/1000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;

ll qpow(ll a,ll n){
    ll r=1;
    a%=mod;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            r=(r*a)%mod;
        n>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return r;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        ll n2=qpow(2,n),n3=qpow(3,n),inv2=qpow(n2,mod-2);
        printf("%lld
",(n2+1+2*n3*inv2)%mod);
    }
    return 0;
}