• Codeforces 1354C1



    题面

    Time limit per test: 2 seconds

    Memory limit per test: 256 megabytes

    Description

    You are given a regular polygon with 2⋅n vertices (it's convex and has equal sides and equal angles) and all its sides have length 1. Let's name it as 2n-gon.

    Your task is to find the square of the minimum size such that you can embed 2n-gon in the square. Embedding 2n-gon in the square means that you need to place 2n-gon in the square in such way that each point which lies inside or on a border of 2n-gon should also lie inside or on a border of the square.

    You can rotate 2n-gon and/or the square.

    Input

    The first line contains a single integer T (1≤T≤200) — the number of test cases.

    Next T lines contain descriptions of test cases — one per line. Each line contains single even integer n (2≤n≤200). Don't forget you need to embed 2n-gon, not an n-gon.

    Output

    Print T real numbers — one per test case. For each test case, print the minimum length of a side of the square 2n-gon can be embedded in. Your answer will be considered correct if its absolute or relative error doesn't exceed 10^−6^.

    Example

    input

    3
    2
    4
    200
    

    output

    1.000000000
    2.414213562
    127.321336469
    



    题意

    给定一个边长为 1 的正 2n 边形

    求外接正方形的最小面积




    解题思路 1

    因为本题给定的 n 是偶数

    故正方形与正 2n 边形恰好可以有4条边重合

    正八边形如下:

    Z8

    正十二边形如下:

    Z12

    以正十二边形为例,根据对称性,可以先只看右上的部分:

    pic1

    根据正十二边形的每条边再画出水平和竖直的两条边,组成一个直角三角形

    可以得到,最上边截得半条边,长度为 1/2

    在所有斜边中,因为正多边形角度平分,所以可以得到每条斜边与水平边的夹角是平分90°角的

    pic2

    所以这张图中的水平长度为

    1/2 + 1*cos30° + 1*cos60°

    实际正方形边长为 2*(1/2 + 1*cos30° + 1*cos60°)


    推广出去,对于正十六边形

    在四分之一图中共有三条斜边

    所以将 90° 角分为 4 份,每份 22.5°

    实际边长为 2*(1/2 + 1*cos22.5° + 1*cos45° + 1*cos67.5°)


    可以发现,从四边形开始,每增加四条边,斜边数量+1

    故斜边数量可以通过 n/2-1 得到,每次增加 90/(n/2) °




    程序 1

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double PI=acos(-1.0);
    const double epsilon=PI/180.0; //角度转弧度
    
    void solve()
    {
        int n;
        cin>>n;
        double tri=90.0/(n/2),trid=0.0,ans=0;
        for(int i=1;i<n/2;i++)
        {
            trid+=tri;
            ans+=cos(trid*epsilon);
        }
        cout<<fixed<<setprecision(9)<<(ans+0.5)*2<<'
    ';
    }
    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0);cout.tie(0);
        int T;cin>>T;
        while(T--)
            solve();
        return 0;
    }
    



    解题思路 2

    由于本题给定的 n 是偶数

    故正方形与正 2n 边形恰好可以有4条边重合

    所以这个正 2n 边形的内接圆直径恰好为外接最小正方形的直径

    以正十二边形为例

    Z12-2

    将正 2n 边形分成 2n 份,得到一个底边为 1 的等腰三角形

    pic3

    顶角 θ = 360/(2*n) = 180/n

    计算可得 内接圆半径为 0.5/tan(θ/2)

    所以答案即 1/tan(θ/2)




    程序 2

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const double PI=acos(-1.0);
    const double epsilon=PI/180.0; //角度转弧度
    
    void solve()
    {
        int n;
        cin>>n;
        cout<<fixed<<setprecision(9)<<1.0/tan(90.0/n*epsilon)<<'
    ';
    }
    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0);cout.tie(0);
        int T;cin>>T;
        while(T--)
            solve();
        return 0;
    }
    

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/stelayuri/p/12906603.html
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