【BZOJ4228】—Tibbar的后花园（生成函数+NTT）

传送门

一个简单的结论是满足的要么是链要么是长度不为3的倍数的环

链的$EGF$显然是$f(x)=x+sum_{i=2}^{n}frac{i!}{2}frac{x^i}{i!}=x+sum_{i=2}^{n}frac{x^i}{2}$

环的$EGF$是$g(x)=sum_{i>3and i\%3!=0}^{n}frac{i!}{2i}frac{x^i}{i!}=sum_{i>3and i\%3!=0}^{n}frac{x^i} {2i}$

由于是要么链，要么环
$ans=e^{f+g}$

求个$exp$即可

由于模数2的最高次幂只有$21$，所以预处理单位根只能处理到$2^{21}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define re register
#define pb push_back
#define cs const
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
cs int mod=1004535809,G=3;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
inline void chemx(ll &a,ll b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
#define poly vector<int>
#define bg begin
cs int N=1050005,C=21;
poly w[C+1];
int rev[N<<2],inv[N<<2],fac[N<<2];
inline void init_w(){
	for(int i=1;i<=C;i++)
	w[i].resize(1<<(i-1));
	int wn=ksm(G,(mod-1)/(1<<C));
	w[C][0]=1;
	for(int i=1;i<(1<<(C-1));i++)w[C][i]=mul(w[C][i-1],wn);
	for(int i=C-1;i;i--)
	for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++)
	w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
inline void init_rev(int lim){
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
}
inline void ntt(poly &f,int lim,int kd){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i>rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(int mid=1,l=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1,l++)
	for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1))
	for(int j=0;j<mid;j++)
	a0=f[i+j],a1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]),f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
	if(kd==-1){
		reverse(f.bg()+1,f.bg()+lim);
		for(int i=0;i<lim;i++)Mul(f[i],inv[lim]);
	}
}
inline poly operator *(poly a,poly b){
	int deg=a.size()+b.size()-1,lim=1;
	if(deg<=128){
		poly c(deg,0);
		for(int i=0;i<a.size();i++)
		for(int j=0;j<b.size();j++)
		Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
		return c;
	}
	while(lim<deg)lim<<=1;
	init_rev(lim);
	a.resize(lim),ntt(a,lim,1);
	b.resize(lim),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)Mul(a[i],b[i]);
	ntt(a,lim,-1),a.resize(deg);
	return a;
}
inline poly deriv(poly a){
	for(int i=0;i<a.size()-1;i++)a[i]=mul(a[i+1],i+1);
	a.pop_back();return a;
}
inline poly integ(poly a){
	a.pb(0);
	for(int i=a.size()-1;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
	a[0]=0;return a;
}
inline poly Inv(poly a,int deg){
	poly b,c(1,ksm(a[0],mod-2));
	for(int lim=4;lim<(deg<<2);lim<<=1){
		b=a,b.resize(lim>>1);
		init_rev(lim);
		c.resize(lim),ntt(c,lim,1);
		b.resize(lim),ntt(b,lim,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=mul(c[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
		ntt(c,lim,-1),c.resize(lim>>1);
	}c.resize(deg);return c;
}
inline poly Ln(poly a,int deg){
	a=integ(deriv(a)*Inv(a,deg)),a.resize(deg);return a;
}
inline poly exp(poly a,int deg){
	poly b(1,1),c;a.resize(deg<<1);
	for(int lim=2;lim<(deg<<1);lim<<=1){
		c=Ln(b,lim);
		for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=dec(a[i],c[i]);
		Add(c[0],1),b=b*c,b.resize(lim);
	}
	b.resize(deg);return b;
}
poly f;
int n;
inline void init(){
	fac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<n*4;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	for(int i=2;i<n*4;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
int main(){
	init_w();
	n=read();
	init(),f.resize(n+1);
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=inv[2];
	for(int i=4;i<=n;i++)if(i%3!=0)Add(f[i],inv[2*i]);
	f=exp(f,n+1);
	cout<<mul(fac[n],f[n]);
}