【洛谷P4727】【HNOI2009】—图的同构（Burnside引理）

传送门

显然同构肯定是要用到$Burnside$
考虑怎么计算不动点的个数
对于一个大小为$x$的循环
如果边$(u,v)$在循环内
那么循环上相同方向的$dis(a,u)=dis(b,v)$的所有$(a,b)$都是一个等价类的
总共就有$lfloor frac x 2 floor$个等价类

如果边$(u,v)$不在循环内
分别在大小为$x,y$的循环内
那么一个等价类会遍历$lcm(x,y)$条边
总共就有$x*y/lcm(x,y)=gcd(x,y)$个等价类

如果有$x$个边的等价类
那么就有$2^x$个不动点

由于我们只关心每个循环的大小
可以枚举整数拆分
对于一种拆分方案，如果大小为$i$的有$a_i$个
那么这种方案会计算
$frac{n!}{prod_i {a_i!}i^{a_i}}$
次

暴力搞就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
#define poly vector<int>
cs int mod=997;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:0;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:0;}
inline void Mul(int &a,int b){a=1ll*a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline void chemx(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
cs int N=66;
int fac[mod],ifac[mod],inv[mod],gcd[N][N],cnt[N];
int n,ans;
vector<int> divi;
inline void init(){
	fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<mod;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[mod-1]=Inv(fac[mod-1]);
	for(int i=mod-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	for(int i=2;i<mod;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
inline void calc(){
	int coef=fac[n],tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)Mul(coef,ifac[cnt[i]]);
	for(int &x:divi)Mul(coef,inv[x]),tot+=x/2;
	for(int i=0;i<divi.size();i++)
	for(int j=i+1;j<divi.size();j++)
	tot+=gcd[divi[i]][divi[j]];
	Add(ans,mul(coef,ksm(2,tot)));
}
void dfs(int res,int mx){
	if(!res)return calc();
	if(res<mx)return;
	for(int i=mx;i<=res;i++)
	cnt[i]++,divi.pb(i),dfs(res-i,i),cnt[i]--,divi.pop_back();
}
inline int Gcd(int a,int b){
	return b?Gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
	init();
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)gcd[i][j]=Gcd(i,j);
	dfs(n,1);
	cout<<mul(ifac[n],ans);
}