HDU 4307 Matrix

HDU_4307

    从本质上讲，之所以能够用最大流解决这个问题，关键在于最大流可以求解下面这个函数的最小值：

    

    接下来就分析一下如何用最大流求解上面这个函数的极值。

    首先xi一共只有两种选择，那么最终可以按xi的取值将xi划分成两个集合，那么如果xi在值为1的集合里，xj在值为0的集合里，那么就会产生一个代价cij。同时如果xi选择0就会产生一个bi的代价，如果xi选择1就会产生一个ai的代价。

    于是构造一个源点S，汇点T做最小割，不妨假设做完最小割之后值为1的xi的集合是和S相连的部分，值为0的xi的集合是和T相连的部分。

    由于表达式中有三项，我们用三种割边来分别描述这三项的值。一种是xi选择了1，这样就不能选择0，需要把xi-T这条边割掉，由于xi选择1会产生ai的代价，那么就把这条边的容量设为ai。另一种是xi选择了0，这样就不能选择1，需要把S-xi这条边割掉，由于xi选择0会产生bi的代价，那么就把这条边的容量设为bi。最后一种是xi选择了1，xj选择了0，这样xi和xj不能在同一个集合中，需要把xi-xj这条边割掉，由于xi选择1，xj选择0产生cij的代价，那么就把这条边的容量设为cij。

    这样对建好的图做最小割就可以得到上面哪个函数的最小值。

    接着我们分析这个题目如何转化成上面这种模型。

    首先我们将D的表达式赤裸裸地写出来：

    

    这种形式必然不能看出来和上面那个表达式有什么关系，于是我们继续将其化简：

    

    如果令f等于最后一行括号里的内容，那么发生了什么？如果ai选择0会产生sum{bij}(1<=j<=N)的代价，如果ai选择1会产生ci的代价，如果ai选择1且aj选择0就会产生bij的代价。这样就完全转化成了上面的模型，具体的做法就不再重复说明了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXD 1010
#define MAXM 2004010
#define INF 0x7fffffff
int N, first[MAXD], e, v[MAXM], next[MAXM], flow[MAXM];
int S, T, d[MAXD], q[MAXD], work[MAXD];
long long SUM;
void add(int x, int y, int z)
{
    v[e] = y, flow[e] = z;
    next[e] = first[x], first[x] = e ++;    
}
void init()
{
    int i, j, x, a;
    scanf("%d", &N);
    S = 0, T = N + 1;
    memset(first, -1, sizeof(first[0]) * (T + 1));
    SUM = e = 0;
    for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        a = 0;
        for(j = 1; j <= N; j ++)
        {
            scanf("%d", &x), a += x;
            add(i, j, x), add(j, i, 0);
        }
        SUM += a;
        add(S, i, a), add(i, S, 0);
    }
    for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%d", &x);
        add(i, T, x), add(T, i, 0);
    }
}
int bfs()
{
    int i, j, rear = 0;
    memset(d, -1, sizeof(d[0]) * (T + 1));
    d[S] = 0, q[rear ++] = S;
    for(i = 0; i < rear; i ++)
        for(j = first[q[i]]; j != -1; j = next[j])
            if(flow[j] && d[v[j]] == -1)
            {
                d[v[j]] = d[q[i]] + 1, q[rear ++] = v[j];
                if(v[j] == T) return 1;
            }
    return 0;
}
int dfs(int cur, int a)
{
    if(cur == T)
        return a;
    for(int &i = work[cur]; i != -1; i = next[i])
        if(flow[i] && d[v[i]] == d[cur] + 1)
            if(int t = dfs(v[i], std::min(a, flow[i])))
            {
                flow[i] -= t, flow[i ^ 1] += t;
                return t;    
            }
    return 0;
}
long long dinic()
{
    long long ans = 0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(work, first, sizeof(first[0]) * (T + 1));
        while(int t = dfs(S, INF))
            ans += t;
    }
    return ans;
}
void solve()
{
    printf("%lld\n", SUM - dinic());
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t --)
    {
        init();
        solve();    
    }
    return 0;    
}