UVA 10518 How Many Calls?

UVA_10518

    这个题目想到f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1还是比较容易的，但如果能想到是f(n)=2*F(n)-1就不太容易了，在看了UVA的论坛之后我才知道原来可以表示成这个样子，其中F(n)为斐波那契数，有了这个式子是第一步，后面的计算过程倒还不算麻烦。

    后来在群里讨论的时候，突然发现S(n)=F(n)+F(n+1)-1，S(n)为斐波那契的前n项和，这时又想到我之前推到的一个结论f(n)=S(n)-F(n-1)，发现这个和f(n)=2*F(n)-1是可以转化的，限于当时还不知道S(n)的表达式，所以错过了推出结论的机会。

    先说说我推出f(n)=S(n)-F(n)的过程吧，我们在递推计算递归次数的时候，每次的+1都另起一行来写，这样我们会得到下面的这个表。

    f(0)      f(1)      f(2)      f(3)      f(4)      f(5)      f(6)

                                                                1

                                                      1         1

                                            1         1         2

                                  1         1         2         3

                        1         1         2         3         5

    1         1         2         3         5         8         13

    没有数字的地方就可以看做是0，f(i)下面对应的整数和就是f(i)的值，相当于计算f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1的时候，每行都进行f(n)=f(n-1)+f(n)的运算，最后再把1另起一行写在上面。

    这样我们就能很明显的看出来，每行都是一个斐波那契数列，不难得到f(n)=S(n)-F(n-1)，这样再把S(n)= F(n)+F(n+1)-1代入，就可以得到f(n)=2*F(n)-1。

    不管用什么办法，反正我们现在是得到f(n)的表达式了。下面回到题目，问题就转化成了f(n)%b的值是多少，由于n很大所以我们在计算F(n)的时候不能直接递推计算，于是可以把F(n)写成矩阵的形式，然后用快速幂取模求得F(n)%b的值，进而就会有f(n)%b的值。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
long long int N, B;
long long int a[100][5], b[5];
void pow_mod(long long int n, int e)
{
    if(n == 1)
    {
        a[e][0] = a[e][1] = a[e][2] = 1;
        a[e][3] = 0;
        return ;
    }
    pow_mod(n / 2, e + 1);
    a[e][0] = (a[e + 1][0] * a[e + 1][0] + a[e + 1][1] * a[e + 1][2]) % B;
    a[e][1] = (a[e + 1][0] * a[e + 1][1] + a[e + 1][1] * a[e + 1][3]) % B;
    a[e][2] = (a[e + 1][2] * a[e + 1][0] + a[e + 1][3] * a[e + 1][2]) % B;
    a[e][3] = (a[e + 1][2] * a[e + 1][1] + a[e + 1][3] * a[e + 1][3]) % B;
    if(n % 2)
    {
        b[0] = (a[e][0] * a[0][0] + a[e][1] * a[0][2]) % B;
        b[1] = (a[e][0] * a[0][1] + a[e][1] * a[0][3]) % B;
        b[2] = (a[e][2] * a[0][0] + a[e][3] * a[0][2]) % B;
        b[3] = (a[e][2] * a[0][1] + a[e][3] * a[0][3]) % B;
        a[e][0] = b[0], a[e][1] = b[1], a[e][2] = b[2], a[e][3] = b[3];
    }
}
void solve()
{
    a[0][0] = a[0][1] = a[0][2] = 1;
    a[0][3] = 0;
    if(N == 0)
    {
        printf("1\n");
        return ;
    }
    pow_mod(N, 1);
    printf("%lld\n", (2 * a[1][0] + B - 1) % B);
}
int main()
{
    int t = 0;
    for(;;)
    {
        scanf("%lld%lld", &N, &B);
        if(!N && !B)
            break;
        printf("Case %d: %lld %lld ", ++ t, N, B);
        solve();
    }
    return 0;
}