# 数学建模算法

数学建模算法

• 可以使用多个算法求解同一个问题，相互印证比较，写进论文中可以增色不少。

目录

• 数学建模算法
  • 线性规划
  • 插值 && 拟合 && 逼近
  • 层次分析法(计算权重）
    • 方法步骤
    • 实例
    • 模型拓展
  • 多属性决策模型（计算属性值）
    • 例子
  • 灰色预测（小样本回归分析）
    • 和常见预测方法的区别：
    • 特点
  • 模拟退火算法
  • 主成分分析法
    • 主成分分析，因子分析，层次分析法比较
  • 神经网络

线性规划

• 标准形式：向量均为列向量，最后一条语句中缺少的项使用[]代替
• 化成求最小值，约束不等式为<=号；
• 脚本的最后配合输出语句使用
• 切记切记：列向量每行使用;隔开
• x为列向量，可以不是(n*1),可以是(n*2)等等
  

插值 && 拟合 && 逼近

• 插值： 插值曲线一定要经过样本点，即使样本点有误差也要严格经过样本点，这就要求样本点数据正确无误的时候使用插值（对象：散点），三次样条插值使用很广泛
• 拟合：在插值的基础上有了误差分析，不严格要求进过所有样本点，只要求构造函数描述整体趋势并使得误差最小。（对象：散点）
• 函数逼近：拟合是构造函数对散点拟合，函数逼近是对已知的复杂函数，通过构造一个较简单的函数或多项式，使得数据接近原来的复杂函数

层次分析法(计算权重）

方法步骤

• 应用：解决选择最佳问题。给出一系列影响选择的因素，按照因素之间的相互关联和相对重要程度，综合考虑这些因素，做出最佳选择。
  
  
  
• 当各行各列严格成比例时，表示完全一致性
  

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实例

• 构造比较矩阵
  

A矩阵为A1，A2，..…..，A5之间两两比较的结果，如：A1:A3=4，结合前面图的成对比较阵标度表，表示对于最佳选择来说，A1（景色）比A3（居住）大于稍微重要但是又小于明显重要。
B1，B2，..…B5表示三个地方在这5个因素之间的对比。如：B1中第一行的2表示在景色方面苏杭比北戴河要稍微好一些（结合成对比较阵标度表）

这些矩阵的填写主观性很强，可以通过查找相关资料稍微减少主观性

  % 按要求输入比较矩阵即可得出每个因素相对于目标来说的权值
  % 注意矩阵的输入格式，代码无需修改直接使用
  disp('请输入成对比较矩阵A(n阶)');
  A=input('A=');
  [n,n]=size(A);
  x=ones(n,100);
  y=ones(n,100);
  m=zeros(1,100);
  m(1)=max(x(:,1));
  y(:,1)=x(:,1);
  x(:,2)=A*y(:,1);
  m(2)=max(x(:,2));
  y(:,2)=x(:,2)/m(2);
  p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
  while  k>p
    i=i+1;
    x(:,i)=A*y(:,i-1);
    m(i)=max(x(:,i));
    y(:,i)=x(:,i)/m(i);
    k=abs(m(i)-m(i-1));
  end
  a=sum(y(:,i));
  w=y(:,i)/a;
  t=m(i);
  disp(w);
           %以下是一致性检验
  CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
  CR=CI/RI(n);
  if CR<0.10
      disp('此矩阵的一致性可以接受!');
      disp('CI=');disp(CI);
      disp('CR=');disp(CR);
  end

• 圈住的部分表示5个影响因素的权值，CI和CR可以不用管
  
  
• 根据得到的权值，进行权值传递（其实就是对应权值相乘再累加）得到最低层对最终目标的取值，根据权值大小可以得出最佳选择
  
  
• 答案的正确性程度取决于成对比较矩阵的合理性

模型拓展

• 多准则层，一层一层计算即可
  
• 每个准则层对应自己的方案层，非当前准则层的因素的权重设置为0即可，具体看付费群的论文
  

多属性决策模型（计算属性值）

+

• 属性值的归一化处理，在上面的得分数据组中，比如：不一定每个得分都是百分制的，可能有些是十分制的。属性值量纲不一致时，通过归一化处理全部转化为百分制形式。
  
  
  
  

例子

• 利用上一讲的层析分析计算权值
  
• 利用加权平均算子，结合属性权值和属性值计算每个企业的总得分
  
  

灰色预测（小样本回归分析）

和常见预测方法的区别：

• 常见预测方法：一些常用的预测方法，像回归分析，需要大量样本，，若样本较小会造成较大的误差
• 灰色预测：此模型所需建模信息少，建模精度高，处理小样本预测问题的有效工具

特点

• 不直接使用原始数据，对原始数据进行处理生成新的数据，用于预测（原始数据一般杂乱无章，但是内部必然存在某种规律，只不过被表象所掩盖），常见生成灰色预测数据的方式：累加生成，类减生成，均值生成，级比生成

• 累加生成：其实就是前缀和
  

• GM(1,1)模型精度检验（适用于较强指数规律序列，描述单调变化，非单调的摆动或者饱和S形使用其他模型（参加数学建模算法与应用））

  • 只有通过检验的模型才能用来预测，常用精度检验方法：相对误差大小检验法，关联度检验法，后验差检验法
  • 后验差检验法
    
    

模拟退火算法

• 模拟物理退火，使总能量达到最低值，系统达到平衡状态，也就是可以用来求最小值，乘上-1或者取倒数可以用来求解最大值。
• 从某一初始温度开始，伴随问题的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解
  

主成分分析法

主成分分析，因子分析，层次分析法比较

• 主成分分析法，因子分析法，层次分析法，前两种方法是多维变量的降维处理，简化数据的，后一种主观赋权的综合评价方法
• 对于少数据样本不如因子分析有用，但是数据量较大时，主成分分析方法就有用武之地了
• 主成分分析法：线性变换进行降维，将多指标转化为几个不相关的综合指标（主成分），每个主成分都是原始变量的线性组合，主成分几乎保留原始变量的全部信息，达到抓住问题实质的目的
• 因子分析：主成分的推广，不是对原始变量的取舍，而是根据原始变量和信息进行重新组合，找出变量的公共因子，化简数据

神经网络

• 一般有两种神经网咯，bp神经网络（有导师学习方式训练，误差逆传播算法），RBF神经网络（有很强的逼近能力，分类能力，学习速度）

• 一般使用RBF，更简单智能，相比BP神经网络要自定义神经元个数，RBF会在训练过程中自适应取定神经元个数，RBF代码参考《数学建模算法与应用》，最后的误差分析参考《MATLAB与机器学习》

• RBF神经网络只有一个参数可调，《数学建模算法与应用》中这个参数是缺省值，参数值越小误差越大，但是当这个参数值达到1e5数量级的时候，误差也很大，这个参数要根据实际情况取合适的值。