一. 简介
离散傅立叶、离散余弦和离散小波变换是图像、音频信号常用基础操作，时域信号转换到不同变换域以后，会导致不同程度的能量集中，信息隐藏利用这个原理在变换域选择适当位置系数进行修改，嵌入信息，并确保图像、音频信号经处理后感官质量无明显变化。
二. 数学公式
一维离散傅立叶变换对定义
一维离散傅里叶变换：
一维离散傅里叶逆变换：
一维离散余弦变换对定义
一维离散余弦正变换：
一维离散余弦反变换：
一维连续小波变换对定义
一维连续小波变换，其总h(t)是小波母函数：
一维连续小波逆变换：
二维离散傅立叶变换对定义
二维离散傅里叶变换：
二维离散傅里叶逆变换：
二维离散余弦变换对定义
二维离散余弦正变换：
二维离散余弦反变换：
三. 代码实现
1. 用离散傅里叶变换分析合成音频和图像
（1）分析合成音频文件
第一步：读取音频文件数据。
uigetfile() 是文件对话框函数，提供图形界面供用户选择所需文件，返回目标的目录名和文件名。
函数原型：y= wavread (FILE)
功能：读取微软音频格式（wav）文件内容
输入参数：file 表示音频文件名，字符串
返回参数：y 表示音频样点，浮点型
第二步：一维离散傅立叶变换
fft 函数对输入参数进行一维离散傅立叶变换并返回其系数，对应频率从 0 到 fs（采样频率），使用 fftshift 将零频对应系数移至中央。为了更好地观察频谱，可计算离散样点对应的频率值。
第三步：一维离散傅立叶逆变换
ifft 函数对输入参数进行一维离散傅立叶逆变换并返回其系数。
第四步：观察结果
figure(n)表示创建第 n 个图形窗。
subplot 是子绘图函数，第一、二个参数指明子图像布局方式，例如，若参数为 2，3 则表示画面共分为 2 行，每行有 3 个子图像。第三个参数表明子图像序号，排序顺序为从左至右，从上至下。
plot 是绘图函数，默认使用方式为 plot(y)，参数 y 是要绘制的数据；如果需要指明图像横轴显示序列，则命令行为 plot(x, y)，默认方式等同于 plot ([0..len-1], y)，len为序列y的长度。
例
len=40000; [fn,pn]=uigetfile('*.wav','请选择音频文件'); [x,fs]=wavread(strcat(pn,fn),len); %strcat()连接生成文件绝对路径 %一维离散傅里叶变换 xf=fft(x); f1=[0:len-1]*fs/len; xff=fftshift(xf); % fftshift()将零频对应系数移至中央 h1=floor(len/2); %取不大于len/2的最大整数 f2=[-h1:h1]*fs/len; %一维离散傅里叶逆变换 xsync=ifft(xf); figure; subplot(2,2,1);plot(x);title('原始图像'); subplot(2,2,2);plot(xsync);title('synthesiaze audio'); subplot(2,2,3);plot(f1,abs(xf));title('fft coef. of audio'); %abs()求整数的绝对值 subplot(2,2,4);plot(f2(1:len),abs(xff));title('fftshift coef. of audio');
（2）分析合成图像文件
第一步：读取图像文件数据
函数原型：A = imread(filename,fmt)
功能：读取 fmt 指定格式的图像文件内容
输入参数：filename 表示图像文件名，字符串。Fmt 表示图像文件格式名，字符串，函数支持的图像格式包括：JPEG，TIFF，GIF，BMP 等等，当参数中不包括文件格式名时，函数尝试推断出文件格式。
返回参数：A 表示图像数据内容，整型。
rgb2gray 函数将 RGB 图像转换为灰度图。
第二步：二维离散傅立叶变换
fft2 函数对输入参数进行二维离散傅立叶变换并返回其系数，使用 fftshift 将零频对应系数移至中央。
第三步：二维离散傅立叶逆变换
ifft2 函数对输入参数进行二维离散傅立叶逆变换并返回其系数。
第四步：观察结果
imshow 是二维数据绘图函数，mesh 通过三维平面显示数据。
例：
[fn,pn]=uigetfile('*.bmp','请选择图像文件'); [x,map]=imread(strcat(pn,fn),'bmp'); I=rgb2gray(x); %rgb2gray函数将 RGB 图像转换为灰度图 %二维离散傅立叶变换 xf=fft2(I); xff=fftshift(xf); %二维离散傅立叶逆变换 xsync=ifft2(xf); %结果 figure; subplot(2,2,1);imshow(x);title('original image'); subplot(2,2,2);imshow(uint8(abs(xsync)));title('synthesize image'); subplot(2,2,3);mesh(abs(xf));title('fft coef. of image'); subplot(2,2,4);mesh(abs(xff));title('fftshift coef. of image');
2. 用离散余弦变换分析合成音频和图像
（1）分析合成音频文件
第一步：读取音频文件数据。
第二步：一维离散余弦变换
dct 函数对输入参数进行一维离散余弦变换并返回其系数，对应频率从0到 fs（采样频率）。
第三步：一维离散余弦逆变换
idct 函数对输入参数进行一维离散余弦逆变换并返回其系数。离散余弦变换常用于图像压缩，可以尝试只使用部分系数重构语言，通过观察可发现，原始音频和合成后音频两者差别不大。
第四步：观察结果
例：
len=40000; [fn,pn]=uigetfile('*.wav','请选择音频文件'); [x,fs]=wavread(strcat(pn,fn),len); %一维离散余弦变换 xf=dct(x); f1=[0:len-1]*fs/len; h1=floor(len/2); f2=[-h1:h1]*fs/len; %一维离散余弦逆变换 xsync=idct(xf); [row,col]=size(x); xff=zeros(row,col); xff(1:row,1:col)=xf(1:row,1:col); y=idct(xff); %结果 figure; subplot(2,2,1);plot(x);title('原始图像'); subplot(2,2,2);plot(xsync);title('synthesiaze audio'); subplot(2,2,3);plot(f1,abs(xf));title('fft coef. of audio'); subplot(2,2,4);plot(f2(1:len),abs(xff));title('fftshift coef. of audio');
（2）分析合成图像文件
第一步：读取图像文件数据
第二步：二维离散余弦变换
dct 函数对输入参数进行二维离散余弦变换并返回其系数。
第三步：二维离散余弦逆变换
idct2 函数对输入参数进行二维离散余弦逆变换并返回其系数。可以尝试使用部分系数重构图像，例如使用系数矩阵中4/5的数据，其它部分置零。
为了保证图像能正确显示，使用uint8 对重构图像原始数据进行了数据类型转换，确保其取值范围在 0 到 255 之间。
第四步：观察结果
请输入命令显示四个子图，分别是原始图像、使用全部系数恢复的图像，使用部分系数恢复的图像和用三维立体图方式显示系数。
例：
[fn,pn]=uigetfile('*.bmp','请选择图像文件'); [x,map]=imread(strcat(pn,fn),'bmp'); I=rgb2gray(x); %二维离散余弦变换 xf=dct2(I); %二维离散余弦逆变换 xsync=uint8(idct2(xf)); [row,col]=size(I); lenr=round(row*4/5); lenc=round(col*4/5); xff=zeros(row,col); xff(1:lenr,1:lenc)=xf(1:lenr,1:lenc); y=uint8(idct2(xff)); %结果 figure; subplot(2,2,1);imshow(x);title('original image'); subplot(2,2,2);imshow(uint8(abs(xsync)));title('synthesize image'); subplot(2,2,3);imshow(uint8(abs(y)));title('part synthesize image'); subplot(2,2,4);mesh(abs(xff));title('fftshift coef. of image');
3. 用离散小波变换分析合成音频和图像
（1）分析合成音频文件
第一步：读取音频文件数据。
第二步：一维离散小波变换
wavedec 函数对输入参数进行一维离散小波变换并返回其系数C 和各级系数长度L。第二个参数指明小波变换的级数，第三个参数指明小波变换使用的小波基名称。
第三步：一维离散小波逆变换
waverec 函数对输入参数进行一维离散小波逆变换并返回其系数。
appcoef 函数返回小波系数近似分量，第一个参数 C、第二个参数 L 是 wavedec 的返回参数，为各级小波系数和其长度，第三个参数指明小波基名称，第四个参数指明级数。
detcoef 函数返回小波系数细节分量，第一个参数 C、第二个参数 L 是 wavedec 的返回参数，为各级小波系数和其长度，第三个参数指明级数。
第四步：观察结果
例：
len=40000; [fn,pn]=uigetfile('*.wav','请选择音频文件'); [x,fs]=wavread(strcat(pn,fn),len); %一维离散小波变换 [C,L]=wavedec(x,2,'db4'); %一维离散小波逆变换 xsync=waverec(C,L,'db4'); cA2=appcoef(C,L,'db4',2); cD2=detcoef(C,L,2); cD1=detcoef(C,L,1); %结果 figure; subplot(2,3,1);plot(x);title('原始图像'); subplot(2,3,2);plot(xsync);title('synthesiaze audio'); subplot(2,3,4);plot(cA2);title('app coef. of audio'); subplot(2,3,5);plot(cD2);title('det coef. of audio'); subplot(2,3,6);plot(cD1);title('det coef. of audio');
（2）分析合成图像文件
第一步：读取图像文件数据
第二步：二维离散小波变换
dwt2函数对输入参数进行二维一级离散小波变换并返回近似分量，水平细节分量，垂直细节分量和对角线细节分量。如果要对图像进行多级小波分解，使用wavedec2函数。
第三步：二维离散小波逆变换
idwt2 函数对输入参数进行二维离散小波逆变换并返回其系数。可以尝试仅使用近似分量、水平细节分量、垂直细节分量或对角线细节分量重构图像。
第四步：观察结果
输入命令显示六个子图，分别是原始图像、使用全部系数恢复的图像、小波系数近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角线细节分量。
例：
[fn,pn]=uigetfile('*.bmp','请选择bmp格式图像文件'); [x,map]=imread(strcat(pn,fn),'bmp'); I=rgb2gray(x); %二维离散小波变换 sx=size(I); [cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(I,'bior3.7'); %二维离散小波逆变换 xsync=uint8(idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,'bior3.7',sx)); A1=uint8(idwt2(cA1,[],[],[],'bior3.7',sx)); H1=uint8(idwt2([],cH1,[],[],'bior3.7',sx)); V1=uint8(idwt2([],[],cV1,[],'bior3.7',sx)); D1=uint8(idwt2([],[],[],cD1,'bior3.7',sx)); %结果 figure; subplot(2,3,1);imshow(x);title('original image'); subplot(2,3,2);imshow(uint8(abs(xsync)));title('synthesize image'); subplot(2,3,3);mesh(A1);title('app coef. of image'); subplot(2,3,4);mesh(H1);title('hor coef. of image'); subplot(2,3,5);mesh(V1);title('ver coef. of image'); subplot(2,3,6);mesh(D1);title('dia coef. of image');
