换钱问题（经典枚举样例）

Ø      要将一张100元的大钞票，换成等值的10元、5元、2元、1元一张的小钞票，每次换成40张小钞票，每种至少1张。如，有一种换法：

Ø    10元：   1 张

Ø      5元：   5 张

Ø      2元：   31 张

Ø      1元：   3 张

Ø问：一共有多少种换法。

 

数学模型：

Ø10元：  a 张  (不超过10张)

Ø 5元：  b 张  (不超过20张)

Ø 2元：  c 张  (不超过50张)

Ø 1元：  d 张 (不超过100张)

Ø不定方程：

Ø10*a+5*b+2*c+d=100

Øa+b+c+d=40

Øa>=1;b>=1;c>=1;d>=1

Ø方程有多少组正整数解？

 方法1：

枚举abcd

#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++)
       for(c=1;c<=50;c++)
         for(d=1;d<=100;d++)
         if(a+b+c+d==40 && 10*a+5*b+2*c+d==100){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d
",s,a,b,c,d);
         }
  return 0;
}

思考如何减少一层循环

方法2：

#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++)
       for(c=1;c<=40;c++){
           d=40-(a+b+c);
             if(d>0&&10*a+5*b+2*c+d==100){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d
",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}

还能再减少一层循环吗？

方法3：

Ø根据不定方程：

Ø10*a+5*b+2*c+d=100

Øa+b+c+d=40

Ø可得：

c=60-(9*a+4*b);

d=8*a+3*b-20;

 这也只枚举a b即可。

#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=10;a++)
     for(b=1;b<=20;b++){
         c=60-(9*a+4*b);
           d=8*a+3*b-20;
             if(c>0&&d>0){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d
",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}

还可以继续优化吗？

方法4：

从枚举的范围进行优化

#include<cstdio>
int main(){
  int s=0,a,b,c,d;
  for(a=1;a<=7;a++)
     for(b=1;b<=17;b++){
             c=60-(9*a+4*b);
               d=8*a+3*b-20;
             if(c>0&&d>0){
             s=s+1;
             printf("%d : %d %d %d %d
",s,a,b,c,d);
         }
    }
  return 0;
}

结论：即使采用暴力枚举，也要认真分析问题。

 

常用的枚举优化措施：

（1）减少枚举层数；

（2）减少每一层的循环次数