[ACM] Hrbustoj 1376 能量项链 （区间动态规划）

能量项链

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Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

Input

有多组测试数据。

对于每组测试数据，输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

    处理到文件结束。

Output

对于每组测试数据，输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10⁹），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4
2 3 5 10

Sample Output

710

Source

NOIp2006提高组复赛

解题思路：

该题属于区间动态规划，一圈珠子，每个珠子的尾标记都是后一个珠子的头标记。题目中输入的是每个珠子的头标记，那么每个珠子的尾标记则为 num[ （i+1）%n ] ，这样就知道了每个珠子的头标记和尾标记。要求最后释放的总能量最大，长n的区间最后合并成一个点，区间动态规划，先从小的开始，即以区间长度为1开始合并，一直到区间长度为n-1的状态，每个状态再考虑分割合并，求局部最优解。状态转移方程：f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[(k+1)%n][j]+num[i]*num[(k+1)%n]*num[(j+1)%n]) 。所有的状态求完后，最后只要在区间程度为n-1的f[][]里面找最大值就是所求。

f[i][j] 是以a[i]为头标记到以b[j]（及a[j+1]）为尾标记合并释放的最大能量。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
int num[maxn];
int f[maxn][maxn];

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&num[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int l=1;l<n;l++)//区间长度
            for(int i=0;i<n;i++)//左端点
        {
            int j=(l+i)%n;//右端点，因为是圆，所以有右端点小于左端点的情况 
            for(int k=i;k!=j;k=(k+1)%n)//分割合并，这里不能写成k<j，因为是圆
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[(k+1)%n][j]+num[i]*num[(k+1)%n]*num[(j+1)%n]);//状态转移方程
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)//因为最后只留下一个点，合并长度为n-1
            if(ans<f[i][(i-1+n)%n])
            ans=f[i][(i-1+n)%n];
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}