第2章 算法
2.4 算法的定义
算法：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每一条指令表示一个或多个操作。
2.5 算法的特性
2.5.1 输入输出
- 算法具有零个或多个输入。
- 算法至少有一个或多个输出。
2.5.2 有穷性
有穷性：指算法在执行有限的步骤之后自动结束，不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
2.5.3 确定性
确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
2.5.3 可执行性
可执行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限的次数完成。
2.6 算法设计的要求
2.6.1 正确性
正确性：算法的正确性是指算法至少应具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反应问题的需求、能够得到问题的正确答案。
- 算法程序没有语法错误。
- 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
- 算法程序对于非法的输入数据能够产生满足规格的说明结果。
- 算法对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
2.6.2 可读性
可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
2.6.3 健壮性
健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名奇妙的结果。
2.6.4 时间效率高和存储量低
2.7 算法效率度量方法
2.7.1 事后统计方法
事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同的算法编制的程序的雨腥时间比较，从而确定算法效率的高低。
缺点：
- 必须根据算法事先编译好程序。
- 时间的比较依赖于计算机的硬件和软件等环境因素。
- 算法的测试数据设计困难。
2.7.2 事前分析估算的方法
事前分析估算方法：在计算机程序编制之前，依据统计算法对算法进行评估。
程序在计算机运行时所耗时间取决于以下几方面：
- 算法采用的策略、方法。
- 编译产生的代码量。
- 问题的输入规模。
- 机器执行指令的速度。
抛开计算机硬件和软件的因素，程序运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模（输入量的多少）。
2.8 函数的渐近增长
函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的渐近快于g(n)。
判断一个算法的效率，函数中的常数和其他次项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。
某个算法，随着n的颚增大，它会越来越优于另一个算法，或者越来越差于另一个算法。
2.9算法时间复杂度
2.9.1 算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数
O(1)常数阶，O(n)线性阶，O(n2)平方阶。
2.9.2 推导大O阶方法
推导大O阶：
- 用常数1取代运行时间中所有的加法常项。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
2.9.3 常数阶
时间复杂度O(1)：不论n的值如何变化，算法执行次数始终为一个固定常数的算法，它的时间复杂度为O(1)。
2.9.4线性阶
时间复杂度O(n)。
2.9.5 对数阶
时间复杂度O(logn)
2.9.6平方阶
时间复杂度O(n2)
2.10常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 | O(1) | 常数阶 |
| 2n+3 | O(n) | 线性阶 |
| 3n2+2n+1 | O(n2) | 平方阶 |
| 5log2n+20 | O(logn) | 对数阶 |
| 2n+3nlog2n+19 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| 6n3+2n2+3n+4 | O(n3) | 立方阶 |
| 2n | O(2n) | 指数阶 |
当n较大时，常用的时间复杂度所耗费时间从小到大：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)
2.11最坏情况与平均情况
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种重要需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间
2.12 算法空间复杂度
算法的空间按复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模 ，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。