蓝桥训练之动态规划

入门

数组分组

题意：

一个数组可被分为n组，整个数组的权值被定义为各组内数字之积对1000取模后的总和，求数组的最大权值

思路：

我们用dp[i]表示前i个数分组的最大权值，对于位置i，我们可以枚举最后一个分组的起始位置为j，计算i,j之间的权值，然后更新dp[i]即可。

为了避免过多的计算，我们需要预处理出来每个区间的乘积对1000取模的结果。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+100, mod = 1000;
int n, a[maxn], dp[maxn], pre[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        pre[i][i] = a[i];
        for(int j = i+1; j <= n; j++)
            pre[i][j] = (pre[i][j-1]*a[j])%mod;
    }
    dp[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j < i ; j++)
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+pre[j+1][i]);
    }
    printf("%d", dp[n]);
}

墙壁涂色

题意：

一个环形的房间被分成n块，每块的颜色可以为R、G、B，但是相邻两快的颜色必须不同，求涂色的方案数

思路：

这是道递推的题目，用dp[i]表示长度为i的方案数

递推的本质：用已知推未知，寻找前后项之间的关系。仔细观察发现可以分为两种情况，当第1项和第n-1项不同色时，第n项只能取一种颜色；当两者取相同颜色时，第n项可以取两种颜色，于是得到递推表达式：dp[n] = dp[n-1] + 2*dp[n-2]

最后注意初始化的时候需要初始化dp[0]、dp[1]、dp[2](原因稍加思考便知)，并且输出使用long long否则溢出

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5+100;
ll n, a[maxn], dp[maxn];
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    dp[1] = 3, dp[2] = 6, dp[3] = 6;
    for(int i = 4; i <= n; i++)
        dp[i] = dp[i-1] + 2*dp[i-2];
    printf("%lld", dp[n]);
}

过河 [POJ 1700. Crossing River]

题意：

有n个人准备过河，他们只有一只船，这只船每次只能通过坐不超过2人，每个人都有不同的划船速度;同一组过河的人的速度是由较慢的速度来确定。你的任务是确定一个策略，最大限度的减少他们过河的时间（使他们最快的过河）

思路：

我们先看下样例，四个人过桥花费的时间分别为 1 2 5 10，具体步骤是这样的：

第一步：1和2过去，花费时间2，然后1回来（花费时间1）
第二歩：3和4过去，花费时间10，然后2回来（花费时间2）
第三歩：1和2过去，花费时间2，总耗时17

这道题目更像是道贪心的题目，拿到题目后可以用数学归纳法求最短花费时间，可以发现可以有两种贪心策略：

1.考虑划船快的人划的次数最多　[最快的人依次把最慢的两个人渡过河再回来]

2.考虑划的慢的人尽量少占用划的快的人的时间.　[最快的两个人先过河，最快的人回来，然后最慢的两个过河，第二快的回来。直到剩余人数少于4人为止]

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+100;
int a[maxn];
int cal(int n) {
    int ans = 0;
    while (n >= 4) {
        // 最快的人把最慢的两个人渡过河消耗的时间
        int s1 = a[n] + a[n - 1] + a[1] * 2;
        // 最快的两个人把最慢的两个人渡过河消耗的时间
        int s2 = a[2] * 2 + a[1] + a[n];
        ans += min(s1, s2);
        // 一次渡河之后不管选哪种渡河方式，最快的两个人都要回来
        n -= 2;
    }
    if (n==2) return ans + a[2];
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans += a[i];
    return ans;
}
int main() {
    int t, n;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        sort(a+1, a+1+n);
        printf("%d\n", cal(n));
    }
    return 0;
}

 Reference:

https://www.cnblogs.com/xiaoyezi-wink/p/11183637.html

https://blog.nowcoder.net/n/2467bddb99424462b1ce2f7f26d5f31a

https://www.git2get.com/av/38084571.html

最大子段和

蒜头君的最大子段和

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 1e12
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e6+100;
ll n, a[maxn], dp[maxn], ans = -inf;
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &a[i]);
        dp[i] = max(a[i], dp[i-1]+a[i]);
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    printf("%lld", ans);
} 

蒜头君的最大子矩阵和

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e3+100;
ll n, m, tmp;
ll sum[maxn][maxn], dp[maxn], ans = -inf;
int main(){
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            scanf("%lld", &tmp);
            sum[i][j] = sum[i-1][j]+tmp;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int k = 0; k < i; k++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                dp[j] = max(dp[j-1], 0ll) + sum[i][j]-sum[k][j];
                ans = max(ans, dp[j]);
            }
        }
    }
    printf("%lld", ans);
} 

最长公共子序列

最长公共子序列

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e3+100;
char a[maxn], b[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%s%s", a+1, b+1);
    int n = strlen(a+1), m = strlen(b+1);
    for(int i =  1; i <= n ;i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1);
        }
    }
    printf("%d", dp[n][m]);
}

编辑距离

回文串

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 3e3+100;
char s[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%s", s+1);
    int n = strlen(s+1);
    for(int i = n-1; i >= 1; i--){
        for(int j = i+1; j <= n; j++){
            if(s[i]==s[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
            else dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1;
        }
    }    
    printf("%d", dp[1][n]);
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e4+100;
char s[maxn];
int dp[maxn];
int main(){
    scanf("%s", s+1);
    int n = strlen(s+1);
    for(int i = n-1; i >= 1; i--){
        int pre = 0;
        for(int j = i+1; j <= n; j++){
            int tmp = dp[j];
            if(s[i]==s[j]) dp[j] = pre;
            else dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + 1;
            pre = tmp;
        }
    }    
    printf("%d", dp[n]);
}