bzoj1013题解

【解题思路】

　　初看以为是二次方程组，但这些方程有相同的右值r²，于是可以化为一次方程组，高斯消元即可。复杂度O(n³)。

　　化简过程：

假设第i个方程和第j个方程联立，得：

　　 ∑(a[i,k]-a[0,k])²=∑(a[j,k]-a[0,k])²

<=>∑(a[i,k]²+a[0,k]²-2*a[i,k]*a[0,k])=∑(a[j,k]²+a[0,k]²-2*a[j,k]*a[0,k])

<=>∑(a[i,k]²-a[j,k]²)=2*∑(a[0,k]*(a[i,k]-a[j,k]))

<=>∑(a[i,k]-a[j,k])a[0,k]=∑(a[i,k]²-a[j,k]²)/2

选取n个线性无关的区间(i,j)联立方程组（我选的是i和i+1），a[0]即是答案向量。

【参考代码】

#include <iomanip>
#include <iostream>
#define REP(I,start,end) for(int I=start;I<=end;I++)
#define PER(I,start,end) for(int I=start;I>=end;I--)
#define REPs(I,start,end,step) for(int I=start;I<=end;I+=step)
#define PERs(I,start,end,step) for(int I=start;I>=end;I-=step)
using namespace std;
template<typename T> T sqr(T n)
{
    return n*n;
}
int n;
long double a[20][20],A[20][20];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    REP(i,1,n+1)
        REP(j,1,n)
            cin>>a[i][j];
    REP(i,1,n)
        REP(j,1,n)
        {
            A[i][j]=2*(a[i+1][j]-a[i][j]);
            A[i][0]+=sqr(a[i+1][j])-sqr(a[i][j]);
        }
    REP(i,1,n-1)
        REP(j,i+1,n)
        {
            long double _i=A[i][i],_j=A[j][i];
            REP(k,0,n)
                A[j][k]=A[j][k]*_i/_j-A[i][k];
        }
    PER(i,n,1)
        REP(j,1,i-1)
        {
            long double _i=A[i][i],_j=A[j][i];
            REP(k,0,i)
                A[j][k]=A[j][k]*_i/_j-A[i][k];
        }
    REP(i,1,n-1)
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<A[i][0]/A[i][i]<<' ';
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(3)<<A[n][0]/A[n][n]<<endl;
    return 0;
}