• zkw线段树学习笔记


    PS:

    说起线段树,可谓是一把辛酸泪(尽管我喜欢打树状数组??)。代码较?(似乎是滴),TLE(屡见不鲜),递归建树(!!!),说实在,用(说到底lowbit差了些,你懂的)。

    先来一发线段树:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
    #define lson l,m,rt<<1
    #define rson m+1,r,rt<<1|1
    using namespace std;
    const int maxn =1e5+10,INF=~0U>>1;
    int sum[maxn<<2],a[maxn];
    void PushUP(int rt)
    {
    	sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
    }
    void build(int l,int r,int rt)//rt结点,l为a某子区间首标号,r为某子区间末标号。
    {
    	if(l==r)//首末相等,直接赋值。
    	{
    		sum[rt]=a[l];
    		return ;
    	}
    	int m=(l+r)>>1;
    	build(lson);//区间长度不为一,左右递归。
    	build(rson);
    	PushUP(rt);
    }
    void update(int p,int add,int l,int r,int rt)
    {
    	if(l==r)
    	{
    		sum[rt]+=add;
    		return;
    	}
    	int m=(l+r)>>1;
    	if(p<=m) update(p,add,lson);
    	else update(p,add,rson);
    	PushUP(rt);
    }
    int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
    {
    	if(L<=l&&r<=R)
    	{
    		return sum[rt];
    	}
    	int m=(l+r)>>1;
    	int ret=0;
    	if(L<=m) ret+=query(L,R,lson);
    	if(R>m) ret+=query(L,R,rson);
    	return ret;
    }

     真长(还没写完)!!!

    当我在不久前,看到了zkw(不要误会),我的世界豁然开朗,代码王者荣耀归来,多年守望简洁先锋,终于get到zkw神器。(实际上我只玩MC)

     zkw(张昆玮大神):男,身处清华大学。zkw线段树出自《统计的力量》

    Total:

    zkw线段树

    1.建树非常简单。

    2.线段树能干的,它都行。(似乎是这样的)

    3.更多惊喜等你来发掘……

    Step1(建树):

    首先,堆式储存是关键。——《统计的力量》

    想必不用多说,用是zkw(重口味)的一大特点,如下图:

     

    一、化为二进制后不难看出,叶子节点的父节点是它的前缀。———>>也就是说,找父亲只需右移一位(>>)!

    二、相反,找父节点的叶子就左移————>>左移一位为左儿子,再+1(或者|1)为右儿子

    三、第n层节点个数为2(n-1)

    四、Last but not least,最底层节点个数为你实际最多可以操作的数的个数(换个说法,应该可以叫做值域为2的次幂)。!!!(最重要

     有了它们,就可以开始踏上理论化为现实的伟大道路。

     实践开始!

    实际上,很多时候数组中数都不是2的次幂,怎么办?————>>直接开2的次幂就行了,多的空间不要了。

    ————《统计的力量》

    一、我们知道,最底层实际上存的是原数组,同时由于堆式储存的特性,序号也是顺序排列的,也就是说————>>当我们需要查询或修改时,只需在原数组序号上加上一个数,设为m吧。

    如何求m

    for(m=1;m<n;m<<=1);
    

     实际上,m为最底层所有节点的父节点总数,所以只需设m为1,不断左移,当m>=n时停止。

    对于叶子直接输入,对于父节点从叶子(继承?区间和,最大值,最小值……)。

    build函数轻松得出:

    void build(int n)
    {
    	for(m=1;m<n;m<<=1);
    	//m<<=1;//避免查端点值出错
    	for(int i=m+1;i<n+m+1;i++) scanf("%d",&a[i]);//从m+1叶子节点开始,避免查询[1,...]时出错。
    	for(int i=m-1;i;--i) a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];//区间和
    /*
    for(int i=m-1;i;--i) a[i]=max(a[i<<1],a[i<<1|1]);//最大值
    for(int i=m-1;i;--i) a[i]=min(a[i<<1],a[i<<1|1]);//最小值
    */
    }
    

    Step2(操作):

     线段树最经典(也就是我们为何用如此……的线段树)的便是查询修改操作了,时间复杂度比较平均,都为O(logn)。

    单点修改

    首先说说单点修改。

    我们都知道,线段树是由上到下遍历的,而zkw由于可以直接找到叶子,是由下到上遍历的,因此避免了许多多余的访问,对于单点修改,我们只需将需要修改的点找到(加上m),并循环应用到自己、父节点直到根节点,方便了许多。

    void updata(int pos,int val)
    {
    	a[pos+=m]+=val;
    	while(pos)
    	{
    		a[pos>>=1]=a[pos<<1]+a[pos<<1|1];
    	}
    }
    

    单点查询

    单点a[q]?直接查[q,q]不就行了嘛。对,这是没错。但我们要将它变得复杂一些(并不是搞笑,说实在的,谁愿意写长篇大论的code),这是为了RMQ做准备,这是我们需要一个神奇的东西——差分,把子节点所存的值维护为与其父节点的差值。

     所以,build函数需要改改:

    void build(int n)//区间和
    {
    	for(;m<n;m<<=1);
    	//m<<=1;//避免查端点值出错
    	for(int i=m+1;i<n+m+1;i++) scanf("%d",&a[i]);//从m+1叶子节点开始,避免查询[1,...]时出错。
    	for(int i=m-1;i;--i) 
    	{
    		a[i]=min(a[i<<1],a[i<<1|1]);
    		a[i<<1]-=a[i],a[i<<1|1]-=a[i];
    	}
    }
    
    

    此时的查询,只需从叶子节点不断循环加上父节点直到根节点。

    int point(int x)
    {
    	int ans=0;
        while(x) 
    	{
    		ans+=a[x],x>>=1;
    	}
    	return ans;
    }
    

    区间查询 

    查询区间和,暂且设区间为[l,r]吧,zkw又一特点,化为(l-1,r+1)开区间计算。

    因此,这就是为何输入时要从m+1开始,避免查询[1,...]时出错,若要查询[0,……],下标需加上1。

    int query(int l,int r)
    {
    	int ans=0;
    	for(l+=m-1,r+=m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1)
    	{
    		if(~l&1) ans+=a[l^1];
    		if(r&1) ans+=a[r^1];
    	}
    	return ans;
    }
    

     ~l&1,意思是是否为儿子,对于兄弟节点来说,最低位为0或1,0为左儿子,1为右儿子,对于左端点 l 来说,我们只需向右合并更新ans(加上兄弟节点,也就是右节点,l^1),而不管其左边。

    r&1,同理,意思是是否为儿子。

    每次循环后移向其父节点继续操作,出口为l^r^1,为什么?若lr不为同一点或兄弟节点l^r^1一定为true,否则在为同一点或兄弟节点时跳出循环。

    求max

    将更新时+改为max就行了。

    int query(int l,int r)
    {
    	int ans=0;
    	for(l+=m-1,r+=m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1)
    	{
    		if(~l&1) ans=max(a[l^1],ans);
    		if(r&1) ans=max(a[r^1],ans);
    	}
    	/************
    	int mid=max(l,r);
    	while(mid)
    	{
    		ans+=a[mid>>=1];//差分时定要记住回归,不要只将差值max输出
    	}
    	*************/
    	return ans;
    }
    

    求min

    将上述max改为min

    区间修改

     最简单的无非区间加减(但我也只说这个),和区间查询一样,只要将更新ans改为a[i]+=val,加上差分回归(需用差分)。

    void intervalup(int l,int r,int val)
    {
    	int tmp=0;
    	for(l+=m-1,r+=m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1)
    	{
    		if(~l&1) a[l^1]+=val;
    		if(r&1) a[r^1]+=val;
    		tmp=min(a[l],a[l^1]),a[l]-=tmp,a[l^1]-=tmp,a[l>>1]+=tmp;
    		tmp=min(a[r],a[r^1]),a[r]-=tmp,a[r^1]-=tmp,a[r>>1]+=tmp;
    	}
    	while(l) tmp=min(a[l],a[l^1]),a[l]-=tmp,a[l^1]-=tmp,a[l>>=1]+=tmp;
    }
    

    Last:

     以上便是zkw的最基本内容,简单也不简单,最后,来一串zkw类

    //powered by:spaceskynet 2017-03-06
    const int maxn=1e5;
    class zkw
    {
    public:
    	zkw()
    	{
    		m=1;
    	}
    	void build(int n)//区间和
    	{
    		for(;m<n;m<<=1);
    		//m<<=1;//避免查端点值出错
    		for(int i=m+1;i<n+m+1;i++) scanf("%d",&a[i]);//从m+1叶子节点开始,避免查询[1,...]时出错。
    		for(int i=m-1;i;--i) a[i]=a[i<<1]+a[i<<1|1];
    		/**差分建树
    		for(int i=m-1;i;--i)
    		{
    			a[i]=min(a[i<<1],a[i<<1|1]);
    			a[i<<1]-=a[i],a[i<<1|1]-=a[i];
    		}
    		**/
    	}
    	int query(int l,int r)
    	{
    		int ans=0;
    		for(l+=m-1,r+=m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1)
    		{
    			if(~l&1) ans+=a[l^1];
    			if(r&1) ans+=a[r^1];
    		}
    		/************
    		int mid=max(l,r);
    		while(mid)
    		{
    			ans+=a[mid>>=1];//差分时定要记住回归,不要只将差值max输出
    		}
    		*************/
    		return ans;
    	}
    	void updata(int pos,int val)
    	{
    		a[pos+=m]+=val;
    		while(pos)
    		{
    			a[pos>>=1]=a[pos<<1]+a[pos<<1|1];
    		}
    	}
    	void intervalup(int l,int r,int val)
    	{
    		int tmp=0;
    		for(l+=m-1,r+=m+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1)
    		{
    			if(~l&1) a[l^1]+=val;
    			if(r&1) a[r^1]+=val;
    			tmp=min(a[l],a[l^1]),a[l]-=tmp,a[l^1]-=tmp,a[l>>1]+=tmp;
    			tmp=min(a[r],a[r^1]),a[r]-=tmp,a[r^1]-=tmp,a[r>>1]+=tmp;
    		}
    		while(l) tmp=min(a[l],a[l^1]),a[l]-=tmp,a[l^1]-=tmp,a[l>>=1]+=tmp;
    	}
    	int point(int x)//差分单点查询
    	{
    		int ans=0;
    		while(x) 
    		{
    			ans+=a[x],x>>=1;
    		}
    		return ans;
    	}
    private:
    	int a[2*maxn+2],m;
    };
    
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