• 算法打基础——符号&递归解法


    第二节 算法复杂度分析的的基本符号及 递归关系式下的复杂度解法

    这次的主要知识点是:

    1.各种复杂度符号  2.递归复杂度解法: 分为三种 替换法(猜!)   递归树法    主定理

    1各种复杂度符号

    big O definition:

    O(g(n))= { f(n) : there exist constants c>0, n0>0 such that 0<=f(n)<=cg(n) for all n>=n0}

    big Ω definition:

    Ω(g(n))= { f(n): there exist constants c>0, n0>0 such that 0<=cg(n)<=f(n) for all n>=n0}

    big Θ definition:

    Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩Ω(g(n))

    some small notation

    small o definition:

    ο(g(n))= { f(n) : for any constant c>0, there is a constant n0>0 such that 0<=f(n)<cg(n) for all n>=n0}

    small ω definiton:

    ω(g(n))= { f(n): for any constant c>0, there is a constant n0>0 such that 0<=cg(n)<f(n) for all n>=n0}

    2 递归求解

    递归的求解方法在教程中提到了3种: 替换法、递归树 和 主定理(叫主定理是因为它是主要用到的定理)

    下面分别讲这三个定理: 

    替换法:其重要的过程就是猜,假设! 假设一个复杂度,然后进行证明

    其过程是: 1. 猜 解的形式

            2. 通过归纳法 验证

          3. 得出使解真正有效的常数

     解法的一个例子见我的算法笔记,里面有详细的推导。

    递归树: 递归树方法并不是一个严格的证明,只是一种启发性的思路。它可以作为替换法的猜测的来源

    上一节就有一个递归树的例子,这一节在给出一个更复杂的例子:

    解: T(n) = T(n/4)+T(n/2)+n2:

    主定理: 主定理是非常重要的.他可以解决很多递归问题,但是也没有完全覆盖所有的情况。它分为三种

    情况,需要记好多东西。。。

    主定理是应用到下面形式的递归上的:

    T(n) = aT(n/b)+f(n), 其中 a>=1,b>1:

    比较f(n)和nlogba   根据比较的情况分为三种情况:

    1. f(n) = O(nlogba-ε) for 某个常数ε>0.

       这个条件是指 f(n) 以  nlogba 比是多项式级别慢的

    其解为: T(n) = Θ(nlogba)

    2. f(n)=Θ(nlogbalgkn) 对常数k>=0.

       这个条件是指f(n)和 nlogba是以相似的速度在增长的

    其解为: T(n)=Θ(nlogbalgk+1n).

    3. f(n)= Ω(nlogba+ε)  for 某个常数ε>0.

       这个条件是指f(n)增长的比 nlogba

      而且!需要f(n)满足一个正则条件:af(n/b)<=cf(n) for 某常数c<1

    其解为:T(n)=Θ(f(n))

    主定理可以通过递归树很好的理解与证明!比如 第三种情况那个正则条件怎么来的等。

     然后我们来通过递归树来分析一下主定理:

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/soyscut/p/3372372.html
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