转： 单调队列

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i),i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{a(i-k+1),a(i-k+2),..., a(i)},i = 0,1,...,N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首 元素删除。

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.N=10,k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

。。。。依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16，。。。

poj2823  n, k分别代表数组数的个数 和 每k个数找一个最值, 输出最值序列， 0(n)的单调队列 ;

Window position	Minimum value	Maximum value
[1  3  -1] -3  5  3  6  7	-1	3
1 [3  -1  -3] 5  3  6  7	-3	3
1  3 [-1  -3  5] 3  6  7	-3	5
1  3  -1 [-3  5  3] 6  7	-3	5
1  3  -1  -3 [5  3  6] 7	3	6
1  3  -1  -3  5 [3  6  7]	3	7

#include <math.h>
#include <iostream>
const int MAX = 1e6+1;

int a[MAX];   //存储数据; 
int q[MAX];   //队列;  
int p[MAX];   //存储啊a[i]中的下标; 
int Min[MAX]; //输出最小; 
int Max[MAX]; //输出最大; 
int n, k;
using namespace std;

void get_min()
{
    int i;
    int head=1, tail =0;
    for(i=0; i< k-1; i++)  //先把两个入队 ;  
    {
        while(head <=tail &&q[tail] >= a[i])  //队尾元素大于要输入的数 ; 
            --tail;
        q[++tail]=a[i];
        p[tail]=i;
    }
    
    for( ;i <n; i++)
    {
        while(head<= tail && q[tail] >= a[i])
            --tail;
        q[++tail] =a[i]; 
        p[tail]= i;
        while(p[head] < i-k+1) //判断数是否过时, 即窗口是否已经划过这个数,  从0开始计数的; 
        {
            head++;    
        }
        //printf("%d %d
", i, head);
        Min[i-k+1]= q[head];
    }
}

void get_max()
{
    int i;
    int head=1, tail =0;
    for(i=0; i< k-1; i++)
    {
        while(head <=tail &&q[tail] <= a[i]) //队尾元素小于要插入的值 ; 
            --tail;
        q[++tail]=a[i];
        p[tail]=i;
    }
    
    for( ; i <n; i++)
    {
        while(head<= tail && q[tail] <= a[i]) //队尾元素小于要插入的值 ;  
            --tail;
        q[++tail] =a[i]; 
        p[tail]= i;
        while(p[head] < i-k+1)
        
        {
            head++;    
        }
        Max[i-k+1]= q[head];
    }
}

void output()
{
    int i;
    for(int i=0; i< n-k+1; i++)
    {
        if(i== 0)
            printf("%d", Min[0]); 
        else
            printf(" %d", Min[i]);
    }
    printf("
");
    
    for(int i= 0; i<n-k+1; i++)
    {
        if(i==0 )
            printf("%d", Max[0]);
        else
            printf(" %d", Max[i]);
    }
    printf("
");
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    
    for(int i=0; i< n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);    
    }
    get_min();
    get_max(); 
    output();
    return 0;
}