• BZOJ 3181([Coci2012]BROJ-最小质因子为p的第k小素数)


    3181: [Coci2012]BROJ

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    Description

    求最小质因子等于p的第n小的正整数(恰好有n-1个最小质因子等于p且比它
    小的正整数)。p一定是质数。若答案超过10^9则输出0。 
     

     

    Input

     

    Output

     

    Sample Input

    2 3

    Sample Output

    9

    HINT

     

    1 <= n, p <= 10^9

     

    Source

     
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    当n≥29时,枚举p的倍数,暴力可过。

    当n<29时:暴力枚举不可过

    开始找规律---发现循环节

    设C为≤p的素数之积

    经过cwj的证明:

    若P<29,可以直接计算,设C为<=P的质数的积,由于P不大,C只是百万级的,硬统计C内有多少个符合要求,设符合要求的个数为c,则答案为((N-1)/c)*C+a[(N-1)%c+1],其中a[i]为第i个符合要求的数,现证明其正确性。

      我们认为,若i合法,则C+i合法。

      现反设C+i非法,则存在p<P满足p|C+i,因为C为<=P的质数的积,所以p|C,所以p|i,与假设矛盾,得证。


    若i合法,则i%c必然合法。故i=a[k]+t*C (t>0)

    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<functional>
    #include<cmath>
    #include<cctype>
    #include<cassert>
    #include<climits>
    using namespace std;
    #define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
    #define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
    #define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
    #define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
    #define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
    #define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
    #define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a))
    #define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a))
    #define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a))
    #define INF (2139062143)
    #define F (1000000009)
    #define MAXN (1000000000)
    #define MAXP (5000000)
    typedef long long ll;
    ll n,p;
    int a[300]={0},size=0;
    bool b[300]={0};
    void make_prime(int n)
    {
    	size=0;
    	b[1]=1;
    	Fork(i,2,n)
    	{
    		if (!b[i]) a[++size]=i;
    		For(j,size)
    		{
    			if (i*a[j]>n) break;
    			b[i*a[j]]=1;
    			if (i%a[j]==0) break;
    		}
    	}
    }
    int ans[10000000],tot=0;
    int main()
    {
    //	freopen("bzoj3181.in","r",stdin);
    	while (cin>>n>>p)
    	{
    		if (n==1) {cout<<p<<endl;continue;}
    		if (p>sqrt(MAXN)) {cout<<'0'<<endl;continue;}
    		if (p>=29)
    		{
    			int k=1;
    			for(int i=2*p;i<=MAXN;i+=p)
    			{
    				bool bo=0;
    				Fork(j,2,p-1) 
    					if (i%j==0) {bo=1;break;}
    				if (!bo) k++;
    				if (k==n) {cout<<i<<endl;break;}
    			}
    			if (k<n) puts("0");
    		}
    		else
    		{
    			make_prime(p);	
    			ll C=1;
    			For(i,size) C*=a[i];//,cout<<C<<endl;
    			tot=0;
    			for(ll i=p;i<=C&&i<=MAXN;i+=p) 
    			{
    				bool bo=0;
    				For(j,size)
    				{
    					if (i%a[j]==0&&a[j]<p) {bo=1;break;}
    				}
    				if (!bo) ans[++tot]=i;			
    			}
    			//if (n<=tot) cout<<ans[n]<<endl;
    		//	if (tot==0) {puts("0");return 0;}
    			ll ans2=(ll)(n-1)/tot*C+ans[(n-1)%tot+1];
    			if (ans2>MAXN) puts("0");
    			else cout<<ans2<<endl;
    		}
    	//	return 0;
    		
    	}
    	return 0;
    }








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