• luogu P3746 [六省联考2017]组合数问题


    luogu

    考虑组合数递推公式(inom{n}{m}=inom{n-1}{m}+inom{n-1}{m-1}),然后代入原式,有

    (sum_{i=0}^{infty} inom{nk}{ik+r}=sum_{i=0}^{infty} inom{nk-1}{ik+r}+sum_{i=0}^{infty} inom{nk-1}{ik+r-1})

    (f_{i,j}=sum_{i=0}^{infty} inom{i}{ik+j}),那么就会有(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,(j-1)mod k}),就可以矩乘转移了.或者可以发现(f_{i,j}=[x^j]((x+1)^ipmod{x^k-1})),使用倍增+FFT可以做到(O(klog nlog k))

    #include<bits/stdc++.h>
    #define LL long long
    #define db double
    
    using namespace std;
    const int N=1e6+10;
    int rd()
    {
        int x=0,w=1;char ch=0;
        while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
        return x*w;
    }
    int n,mod,k,r;
    int fpow(int a,int b,int mod){int an=1;while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;}return an;}
    struct matrix
    {
    	int a[50][50];
    	matrix(int az=0){memset(a,0,sizeof(a));for(int i=0;i<50;++i) a[i][i]=az;}
    	matrix operator * (const matrix &bb) const
    	{
    		matrix an;
    		for(int i=0;i<k;++i)				
    			for(int l=0;l<k;++l)
    				for(int j=0;j<k;++j)
    					an.a[i][j]=(1ll*a[i][l]*bb.a[l][j]+an.a[i][j])%mod;
    		return an;
    	}
    }aa,bb;
    
    int main()
    {
    	n=rd(),mod=rd(),k=rd(),r=rd();
    	for(int i=0;i<k;++i) ++bb.a[i][i],++bb.a[i][(i+1)%k];
    	aa.a[0][0]=1;
    	LL rs=1ll*n*k;
    	while(rs)
    	{
    		if(rs&1) aa=aa*bb;
    		bb=bb*bb,rs>>=1;
    	}
    	printf("%d
    ",aa.a[0][r]);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/smyjr/p/12926796.html
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