伸展树(一)之图文解析和 C语言的实现

概要

本章介绍伸展树。它和"二叉查找树"和"AVL树"一样，都是特殊的二叉树。在了解了"二叉查找树"和"AVL树"之后，学习伸展树是一件相当容易的事情。和以往一样，本文会先对伸展树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后序再分别给出C++和Java版本的实现；这3种实现方式的原理都一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，希望您能不吝指出！

目录
1. 伸展树的介绍
2. 伸展树的C实现
3. 伸展树的C测试程序

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更多内容: 数据结构与算法系列目录

(01) 伸展树(一)之图文解析和 C语言的实现
(02) 伸展树(二)之 C++的实现
(03) 伸展树(三)之 Java的实现

伸展树的介绍

伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(01) 伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(02) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。

伸展树的C实现

1. 节点定义

typedef int Type;

typedef struct SplayTreeNode {
    Type key;                        // 关键字(键值)
    struct SplayTreeNode *left;        // 左孩子
    struct SplayTreeNode *right;    // 右孩子
} Node, *SplayTree;

伸展树的节点包括的几个组成元素:
(01) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。

外部接口

// 前序遍历"伸展树"
void preorder_splaytree(SplayTree tree);
// 中序遍历"伸展树"
void inorder_splaytree(SplayTree tree);
// 后序遍历"伸展树"
void postorder_splaytree(SplayTree tree);

// (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);
// (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);

// 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);

// 旋转key对应的节点为根节点。
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);

// 将结点插入到伸展树中，并返回根节点
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);

// 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);

// 销毁伸展树
void destroy_splaytree(SplayTree tree);

// 打印伸展树
void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);

2. 旋转

旋转的代码

/* 
 * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
 *
 * 注意：
 *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
 *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。
 *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
 *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
 *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
 *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
 *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
 *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
 */
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
{
    Node N, *l, *r, *c;

    if (tree == NULL) 
        return tree;

    N.left = N.right = NULL;
    l = r = &N;

    for (;;)
    {
        if (key < tree->key)
        {
            if (tree->left == NULL)
                break;
            if (key < tree->left->key)
            {
                c = tree->left;                           /* 01, rotate right */
                tree->left = c->right;
                c->right = tree;
                tree = c;
                if (tree->left == NULL) 
                    break;
            }
            r->left = tree;                               /* 02, link right */
            r = tree;
            tree = tree->left;
        }
        else if (key > tree->key)
        {
            if (tree->right == NULL) 
                break;
            if (key > tree->right->key) 
            {
                c = tree->right;                          /* 03, rotate left */
                tree->right = c->left;
                c->left = tree;
                tree = c;
                if (tree->right == NULL) 
                    break;
            }
            l->right = tree;                              /* 04, link left */
            l = tree;
            tree = tree->right;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }

    l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */
    r->left = tree->right;
    tree->left = N.right;
    tree->right = N.left;

    return tree;
}

上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，共包括"右旋" --> "右链接" --> "组合"这3步。

第一步：右旋
对应代码中的"rotate right"部分

第二步：右链接
对应代码中的"link right"部分

第三步：组合
对应代码中的"assemble"部分

提示：如果在上面的伸展树中查找"70"，则正好与"示例1"对称，而对应的操作则分别是"rotate left", "link left"和"assemble"。
其它的情况，例如"查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况"等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3. 插入

/* 
 * 将结点插入到伸展树中(不旋转)
 *
 * 参数说明：
 *     tree 伸展树的根结点
 *     z 插入的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
{
    Node *y = NULL;
    Node *x = tree;

    // 查找z的插入位置
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->left;
        else if (z->key > x->key)
            x = x->right;
        else
        {
            printf("不允许插入相同节点(%d)!
", z->key);
            // 释放申请的节点，并返回tree。
            free(z);
            return tree;
        }
    }

    if (y==NULL)
        tree = z;
    else if (z->key < y->key)
        y->left = z;
    else
        y->right = z;

    return tree;
}

/*
 * 创建并返回伸展树结点。
 *
 * 参数说明：
 *     key 是键值。
 *     parent 是父结点。
 *     left 是左孩子。
 *     right 是右孩子。
 */
static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;

    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->left = left;
    p->right = right;

    return p;
}

/* 
 * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree 伸展树的根结点
 *     key 插入结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
    Node *z;    // 新建结点

    // 如果新建结点失败，则返回。
    if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)
        return tree;

    // 插入节点
    tree = splaytree_insert(tree, z);
    // 将节点(key)旋转为根节点
    tree = splaytree_splay(tree, key);
}

外部接口: insert_splaytree(tree, key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。

内部接口: splaytree_insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。splaytree_insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4. 删除

删除接口

/* 
 * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。
 *
 * 参数说明：
 *     tree 伸展树的根结点
 *     z 删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)
 *
 */
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
    Node *x;

    if (tree == NULL) 
        return NULL;

    // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
    if (splaytree_search(tree, key) == NULL)
        return tree;

    // 将key对应的节点旋转为根节点。
    tree = splaytree_splay(tree, key);

    if (tree->left != NULL)
    {
        // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点
        x = splaytree_splay(tree->left, key);
        // 移除tree节点
        x->right = tree->right;
    }
    else
        x = tree->right;

    free(tree);

    return x;
}

delete_splaytree(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

注意：关于伸展树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的伸展树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

伸展树的C实现(完整源码)

伸展树的头文件(splay_tree.h)

 1 #ifndef _SPLAY_TREE_H_
 2 #define _SPLAY_TREE_H_
 3 
 4 typedef int Type;
 5 
 6 typedef struct SplayTreeNode {
 7     Type key;                        // 关键字(键值)
 8     struct SplayTreeNode *left;        // 左孩子
 9     struct SplayTreeNode *right;    // 右孩子
10 } Node, *SplayTree; 
11 
12 // 前序遍历"伸展树"
13 void preorder_splaytree(SplayTree tree);
14 // 中序遍历"伸展树"
15 void inorder_splaytree(SplayTree tree);
16 // 后序遍历"伸展树"
17 void postorder_splaytree(SplayTree tree);
18 
19 // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
20 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);
21 // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
22 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);
23 
24 // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
25 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);
26 // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
27 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);
28 
29 // 旋转key对应的节点为根节点。
30 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);
31 
32 // 将结点插入到伸展树中，并返回根节点
33 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);
34 
35 // 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
36 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);
37 
38 // 销毁伸展树
39 void destroy_splaytree(SplayTree tree);
40 
41 // 打印伸展树
42 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);
43 
44 #endif

View Code

伸展树的实现文件(splay_tree.c)

  1 /**
  2  * SplayTree伸展树(C语言): C语言实现的伸展树。
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/02/03
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 #include "splay_tree.h"
 11 
 12 /*
 13  * 前序遍历"伸展树"
 14  */
 15 void preorder_splaytree(SplayTree tree)
 16 {
 17     if(tree != NULL)
 18     {
 19         printf("%d ", tree->key);
 20         preorder_splaytree(tree->left);
 21         preorder_splaytree(tree->right);
 22     }
 23 }
 24 
 25 /*
 26  * 中序遍历"伸展树"
 27  */
 28 void inorder_splaytree(SplayTree tree)
 29 {
 30     if(tree != NULL)
 31     {
 32         inorder_splaytree(tree->left);
 33         printf("%d ", tree->key);
 34         inorder_splaytree(tree->right);
 35     }
 36 }
 37 
 38 /*
 39  * 后序遍历"伸展树"
 40  */
 41 void postorder_splaytree(SplayTree tree)
 42 {
 43     if(tree != NULL)
 44     {
 45         postorder_splaytree(tree->left);
 46         postorder_splaytree(tree->right);
 47         printf("%d ", tree->key);
 48     }
 49 }
 50 
 51 /*
 52  * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
 53  */
 54 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key)
 55 {
 56     if (x==NULL || x->key==key)
 57         return x;
 58 
 59     if (key < x->key)
 60         return splaytree_search(x->left, key);
 61     else
 62         return splaytree_search(x->right, key);
 63 }
 64 
 65 /*
 66  * (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
 67  */
 68 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key)
 69 {
 70     while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
 71     {
 72         if (key < x->key)
 73             x = x->left;
 74         else
 75             x = x->right;
 76     }
 77 
 78     return x;
 79 }
 80 
 81 /* 
 82  * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
 83  */
 84 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree)
 85 {
 86     if (tree == NULL)
 87         return NULL;
 88 
 89     while(tree->left != NULL)
 90         tree = tree->left;
 91     return tree;
 92 }
 93  
 94 /* 
 95  * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
 96  */
 97 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree)
 98 {
 99     if (tree == NULL)
100         return NULL;
101 
102     while(tree->right != NULL)
103         tree = tree->right;
104     return tree;
105 }
106 
107 /* 
108  * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
109  *
110  * 注意：
111  *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
112  *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。
113  *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
114  *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
115  *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
116  *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
117  *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
118  *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
119  */
120 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
121 {
122     Node N, *l, *r, *c;
123 
124     if (tree == NULL) 
125         return tree;
126 
127     N.left = N.right = NULL;
128     l = r = &N;
129 
130     for (;;)
131     {
132         if (key < tree->key)
133         {
134             if (tree->left == NULL)
135                 break;
136             if (key < tree->left->key)
137             {
138                 c = tree->left;                           /* 01, rotate right */
139                 tree->left = c->right;
140                 c->right = tree;
141                 tree = c;
142                 if (tree->left == NULL) 
143                     break;
144             }
145             r->left = tree;                               /* 02, link right */
146             r = tree;
147             tree = tree->left;
148         }
149         else if (key > tree->key)
150         {
151             if (tree->right == NULL) 
152                 break;
153             if (key > tree->right->key) 
154             {
155                 c = tree->right;                          /* 03, rotate left */
156                 tree->right = c->left;
157                 c->left = tree;
158                 tree = c;
159                 if (tree->right == NULL) 
160                     break;
161             }
162             l->right = tree;                              /* 04, link left */
163             l = tree;
164             tree = tree->right;
165         }
166         else
167         {
168             break;
169         }
170     }
171 
172     l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */
173     r->left = tree->right;
174     tree->left = N.right;
175     tree->right = N.left;
176 
177     return tree;
178 }
179 
180 /* 
181  * 将结点插入到伸展树中(不旋转)
182  *
183  * 参数说明：
184  *     tree 伸展树的根结点
185  *     z 插入的结点
186  * 返回值：
187  *     根节点
188  */
189 static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
190 {
191     Node *y = NULL;
192     Node *x = tree;
193 
194     // 查找z的插入位置
195     while (x != NULL)
196     {
197         y = x;
198         if (z->key < x->key)
199             x = x->left;
200         else if (z->key > x->key)
201             x = x->right;
202         else
203         {
204             printf("不允许插入相同节点(%d)!
", z->key);
205             // 释放申请的节点，并返回tree。
206             free(z);
207             return tree;
208         }
209     }
210 
211     if (y==NULL)
212         tree = z;
213     else if (z->key < y->key)
214         y->left = z;
215     else
216         y->right = z;
217 
218     return tree;
219 }
220 
221 /*
222  * 创建并返回伸展树结点。
223  *
224  * 参数说明：
225  *     key 是键值。
226  *     parent 是父结点。
227  *     left 是左孩子。
228  *     right 是右孩子。
229  */
230 static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
231 {
232     Node* p;
233 
234     if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
235         return NULL;
236     p->key = key;
237     p->left = left;
238     p->right = right;
239 
240     return p;
241 }
242 
243 /* 
244  * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点
245  *
246  * 参数说明：
247  *     tree 伸展树的根结点
248  *     key 插入结点的键值
249  * 返回值：
250  *     根节点
251  */
252 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
253 {
254     Node *z;    // 新建结点
255 
256     // 如果新建结点失败，则返回。
257     if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)
258         return tree;
259 
260     // 插入节点
261     tree = splaytree_insert(tree, z);
262     // 将节点(key)旋转为根节点
263     tree = splaytree_splay(tree, key);
264 }
265 
266 /* 
267  * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。
268  *
269  * 参数说明：
270  *     tree 伸展树的根结点
271  *     z 删除的结点
272  * 返回值：
273  *     根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)
274  *
275  */
276 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
277 {
278     Node *x;
279 
280     if (tree == NULL) 
281         return NULL;
282 
283     // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
284     if (splaytree_search(tree, key) == NULL)
285         return tree;
286 
287     // 将key对应的节点旋转为根节点。
288     tree = splaytree_splay(tree, key);
289 
290     if (tree->left != NULL)
291     {
292         // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点
293         x = splaytree_splay(tree->left, key);
294         // 移除tree节点
295         x->right = tree->right;
296     }
297     else
298         x = tree->right;
299 
300     free(tree);
301 
302     return x;
303 }
304 
305 /*
306  * 销毁伸展树
307  */
308 void destroy_splaytree(SplayTree tree)
309 {
310     if (tree==NULL)
311         return ;
312 
313     if (tree->left != NULL)
314         destroy_splaytree(tree->left);
315     if (tree->right != NULL)
316         destroy_splaytree(tree->right);
317 
318     free(tree);
319 }
320 
321 /*
322  * 打印"伸展树"
323  *
324  * tree       -- 伸展树的节点
325  * key        -- 节点的键值 
326  * direction  --  0，表示该节点是根节点;
327  *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
328  *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
329  */
330 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction)
331 {
332     if(tree != NULL)
333     {
334         if(direction==0)    // tree是根节点
335             printf("%2d is root
", tree->key);
336         else                // tree是分支节点
337             printf("%2d is %2d's %6s child
", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
338 
339         print_splaytree(tree->left, tree->key, -1);
340         print_splaytree(tree->right,tree->key,  1);
341     }
342 }

View Code

伸展树的测试程序(splaytree_test.c)

 1 /**
 2  * C 语言: 伸展树测试程序
 3  *
 4  * @author skywang
 5  * @date 2014/02/03
 6  */
 7 
 8 #include <stdio.h>
 9 #include "splay_tree.h"
10 
11 static int arr[]= {10,50,40,30,20,60};
12 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
13 
14 void main()
15 {
16     int i, ilen;
17     SplayTree root=NULL;
18 
19     printf("== 依次添加: ");
20     ilen = TBL_SIZE(arr);
21     for(i=0; i<ilen; i++)
22     {
23         printf("%d ", arr[i]);
24         root = insert_splaytree(root, arr[i]);
25     }
26 
27     printf("
== 前序遍历: ");
28     preorder_splaytree(root);
29 
30     printf("
== 中序遍历: ");
31     inorder_splaytree(root);
32 
33     printf("
== 后序遍历: ");
34     postorder_splaytree(root);
35     printf("
");
36 
37     printf("== 最小值: %d
", splaytree_minimum(root)->key);
38     printf("== 最大值: %d
", splaytree_maximum(root)->key);
39     printf("== 树的详细信息: 
");
40     print_splaytree(root, root->key, 0);
41 
42     i = 30;
43     printf("
== 旋转节点(%d)为根节点
", i);
44     printf("== 树的详细信息: 
");
45     root = splaytree_splay(root, i);
46     print_splaytree(root, root->key, 0);
47 
48     // 销毁伸展树
49     destroy_splaytree(root);
50 }

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伸展树的C测试程序

伸展树的测试程序运行结果如下：

== 依次添加: 10 50 40 30 20 60 
== 前序遍历: 60 30 20 10 50 40 
== 中序遍历: 10 20 30 40 50 60 
== 后序遍历: 10 20 40 50 30 60 
== 最小值: 10
== 最大值: 60
== 树的详细信息: 
60 is root
30 is 60's   left child
20 is 30's   left child
10 is 20's   left child
50 is 30's  right child
40 is 50's   left child

== 旋转节点(30)为根节点
== 树的详细信息: 
30 is root
20 is 30's   left child
10 is 20's   left child
60 is 30's  right child
50 is 60's   left child
40 is 50's   left child

测试程序的主要流程是：新建伸展树，然后向伸展树中依次插入10,50,40,30,20,60。插入完毕这些数据之后，伸展树的节点是60；此时，再旋转节点，使得30成为根节点。
依次插入10,50,40,30,20,60示意图如下：

将30旋转为根节点的示意图如下：

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伸展树(一)之 图文解析 和 C语言的实现

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伸展树的介绍

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