[CSAcademy]Squared Ends

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题目大意：

给你一个长度为(n(nle10^4))的数列({A_i}(A_ile10^6))。定义区间(A_{[l,r]})的代价为((A_l-A_r)^2)。求将({A_i})划分成(k(kle100))个区间的最小代价。

思路：

不难想到一种动态规划，用(f[i][j])表示已经划分了(i)个区间，结尾是(j)的最小代价。转移方程为:

[f[i][j]=min{f[i-1][k-1]+(A_j-A_k)^2} ]

时间复杂度是(mathcal O(n^2k))。

变形得：

[f[i][j]=A_j^2+min{-2A_jA_k+f[i-1][k-1]+A_k^2} ]

其中(min)中的东西可以看做是关于(A_j)的一次函数。而寻找(min)值的过程就相当于在一堆一次函数中找最小值，用李超树维护凸壳即可。

时间复杂度(mathcal O(nklogoperatorname{range}(A_i)))。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
const int N=1e4+1,K=101,LIM=1e6;
typedef long long int64;
class SegmentTree {
	#define _left <<1
	#define _right <<1|1
	#define mid ((b+e)>>1)
	private:
		struct Node {
			int64 a,b,time;
		};
		Node node[LIM<<2];
	public:
		void reset(const int &p,const int &b,const int &e) {
			node[p]=(Node){0,0};
			if(b==e) return;
			reset(p _left,b,mid);
			reset(p _right,mid+1,e);
		}
		void insert(const int &p,const int &b,const int &e,const int64 &i,const int64 &j,const int &t) {
			if(node[p].time!=t) {
				node[p].a=i;
				node[p].b=j;
				node[p].time=t;
				return;
			}
			const int64 lval1=node[p].a*b+node[p].b;
			const int64 rval1=node[p].a*e+node[p].b;
			const int64 lval2=i*b+j,rval2=i*e+j;
			if(lval1<=lval2&&rval1<=rval2) return;
			if(lval2<=lval1&&rval2<=rval1) {
				node[p].a=i;
				node[p].b=j;
				return;
			}
			if(b==e) return;
			const long double c=1.*(node[p].b-j)/(i-node[p].a);
			if(lval1<=lval2&&c<=mid) {
				insert(p _left,b,mid,node[p].a,node[p].b,t);
				node[p].a=i;
				node[p].b=j;
				return;
			}
			if(lval1<=lval2&&c>=mid) {
				insert(p _right,mid+1,e,i,j,t);
				return;
			}
			if(lval1>=lval2&&c<=mid) {
				insert(p _left,b,mid,i,j,t);
				return;
			}
			if(lval1>=lval2&&c>=mid) {
				insert(p _right,mid+1,e,node[p].a,node[p].b,t);
				node[p].a=i;
				node[p].b=j;
				return;
			}
		}
		int64 query(const int &p,const int &b,const int &e,const int &x,const int &t) const {
			if(node[p].time!=t) return LLONG_MAX;
			int64 ret=node[p].a*x+node[p].b;
			if(b==e) return ret;
			if(x<=mid) ret=std::min(ret,query(p _left,b,mid,x,t));
			if(x>mid) ret=std::min(ret,query(p _right,mid+1,e,x,t));
			return ret;
		}
	#undef _left
	#undef _right
	#undef mid
};
SegmentTree t;
int a[N];
int64 f[K][N];
int main() {
	const int n=getint(),k=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=getint();
		f[0][i]=INT_MAX*500ll;
	}
	t.reset(1,1,n);
	for(register int i=1;i<=k;i++) {
		for(register int j=i;j<=n+i-k;j++) {
			t.insert(1,1,LIM,-2*a[j],f[i-1][j-1]+(int64)a[j]*a[j],i);
			f[i][j]=(int64)a[j]*a[j]+t.query(1,1,LIM,a[j],i);
		}
	}
	printf("%lld
",f[k][n]);
	return 0;
}