• 常系数线性差分方程的求解

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    ( 这里用F_n 代表斐波那契数列第 n 项，且约定 F_0=0 )

    设有一个矩阵 M 使得egin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix}=Megin{pmatrix}F_{n-1}\F_{n}end{pmatrix}

    设 M=egin{pmatrix}A&C\B&Dend{pmatrix} 就有egin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix}=egin{pmatrix}AF_{n-1}+CF_{n}\BF_{n-1}+DF_{n}end{pmatrix}

    直接令 A=0 ，再令 C=B=D=1 ，得到 M=egin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}

    把 M 特征分解，就可以求出 egin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix} 的通项式

    egin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix}=Megin{pmatrix}F_{n-1}\F_{n}end{pmatrix}Rightarrowegin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix}=M^negin{pmatrix}F_{0}\F_{1}end{pmatrix}Rightarrowegin{pmatrix}F_n\F_{n+1}end{pmatrix}=PD^nP^{-1}egin{pmatrix}0\1end{pmatrix}

    解特征方程 det(M-lambda I)=0 得到M的特征值lambda=frac{1pmdisplaystylesqrt{5}}{2}

    然后得到两个的特征向量 egin{pmatrix}1\\displaystylefrac{1pmsqrt 5}{2}end{pmatrix}

    egin{aligned}P^{-1}&=egin{vmatrix}1&1\\displaystylefrac{1+sqrt 5}{2}&displaystylefrac{1-sqrt 5}{2}end{vmatrix}^{-1}egin{pmatrix}displaystylefrac{1-sqrt 5}{2}&-displaystylefrac{1+sqrt 5}{2}\\-1&1end{pmatrix}^{ m T}\&=egin{pmatrix}displaystylefrac{sqrt 5-1}{2sqrt 5}&displaystylefrac{1}{sqrt 5}\\displaystylefrac{sqrt 5 + 1}{2sqrt 5}&displaystyle-frac{1}{sqrt 5}end{pmatrix}end{aligned}

    egin{aligned}F_n&=egin{pmatrix}1&0end{pmatrix}egin{pmatrix}1&1\\displaystylefrac{1+sqrt 5}{2}&displaystylefrac{1-sqrt 5}{2}end{pmatrix}egin{pmatrix}displaystyleleft(frac{1+sqrt 5}{2} ight)^{n}&0\0&displaystyleleft(frac{1-sqrt 5}{2} ight)^nend{pmatrix}egin{pmatrix}displaystylefrac{sqrt 5-1}{2sqrt 5}&displaystylefrac{1}{sqrt 5}\\displaystylefrac{sqrt 5 + 1}{2sqrt 5}&displaystyle-frac{1}{sqrt 5}end{pmatrix}egin{pmatrix}0\1end{pmatrix}\&=egin{pmatrix}1&0end{pmatrix}egin{pmatrix}1&1\\displaystylefrac{1+sqrt 5}{2}&displaystylefrac{1-sqrt 5}{2}end{pmatrix}egin{pmatrix}displaystyleleft(frac{1+sqrt 5}{2} ight)^{n}&0\0&displaystyleleft(frac{1-sqrt 5}{2} ight)^nend{pmatrix}egin{pmatrix}displaystylefrac{1}{sqrt{5}}\\displaystyle-frac{1}{sqrt{5}}end{pmatrix}\&=frac{2^{-n}}{sqrt 5}egin{pmatrix}1&0end{pmatrix}egin{pmatrix}1&1\\displaystylefrac{1+sqrt 5}{2}&displaystylefrac{1-sqrt 5}{2}end{pmatrix}egin{pmatrix}displaystyleleft(1+sqrt 5 ight)^n\-displaystyleleft(1-sqrt 5 ight)^nend{pmatrix}\&=frac{displaystyleleft(frac{1+displaystylesqrt{5}}{2} ight)^n-displaystyleleft(frac{1-displaystylesqrt{5}}{2} ight)^n}{displaystylesqrt{5}}end{aligned}

    所以

    F_n=frac{displaystyleleft(frac{1+displaystylesqrt{5}}{2} ight)^n-displaystyleleft(frac{1-displaystylesqrt{5}}{2} ight)^n}{displaystylesqrt{5}}

    相同的方法可以求形如 A_{n}=c_1A_{n-1}+c_2A_{n-2} 递推式的通项公式，

    只要让 M=egin{pmatrix}0&1\c_2&c_1end{pmatrix} ，剩下的步骤一模一样

    甚至还可以扩展到更高维度的矩阵求形如 A_{n}=c_1A_{n-1}+c_2A_{n-2}+cdots+c_mA_{n-m} 的通项公式

    当然，前提是 M 非奇异，且拥有 m个线性无关的特征向量

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    解差分方程
    x(n+2)=x(n+1)+x(n)
    Z^{2} X(Z)=Z X(Z)+X(Z)
    X(Z)=frac{1}{Z^{2}-Z-1} =frac{1}{(Z-frac{1+sqrt{5} }{2} )(Z-frac{1-sqrt{5} }{2} )} =frac{1}{sqrt{5}} (frac{Z}{Z-frac{1+sqrt{5} }{2}} -frac{Z}{Z-frac{1-sqrt{5} }{2}} )
    求逆Z变换
    xleft( n ight) =frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5} }{2} )^{n}-frac{1-sqrt{5} }{2} )^{n}]

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    作者：唐小谦
    链接：https://www.zhihu.com/question/25217301/answer/158753864
    来源：知乎
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    感谢大家的点赞和评论！在这里统一向各位说声抱歉，我把这个解答称为初等方法确实不够严谨，看似初等的方法里面实际上隐藏了并不初等的概念。确切地说，如果要正确理解下面这个等式

    需要一些形式幂级数环的简单知识（包括环的概念，环中可逆元的概念）。

    因为考虑的是形式幂级数，在向形式变元x代入具体的数之前并不牵涉收敛性问题，也无需使用泰勒展开等工具。因此，我仍然认为这是一个中学生可以接受的解答，再加上生成函数非常有价值，应该介绍给大家。

    至于“初等”与“高等”之争，我认为是一件好事，因为大家所熟知的初等数学里，也有很多事情需要借助高等数学的知识才能说清楚，而我们国家的中学数学教材与大学数学教材其实脱节很严重。但状况并不应该如此，中学数学里的内容有一些非常有趣而深刻的背景可以挖掘出来，而不是只教大家做题。最近在对这方面的内容做一个梳理和总结，系列文章

    奇葩数学史 - 知乎专栏 新鲜上线，希望大家多提意见！

    以下是原答。

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    纯手工初等方法。记斐波那契数列第n项为F_n，则F_n=F_{n-2}+F_{n-1}。

    构造一个与{F_n}有关的幂级数

    这个函数被称为斐波那契数列的生成函数，因为它的幂级数展开完全决定了 {F_n}，展开式中q^n的系数就是斐波那契数列的第n项。

    对于一般数列的生成函数，我们暂且按下不表，先来看看有没有办法求这个特殊的F。我们没有别的选择，唯一的条件是F_n=F_{n-1}+F_{n-2}，这个等式应该能够诱导出一个F满足的方程。

    确实如此，F_n是q^n的系数，F_{n-1}和F_{n-2}则分别是q^{n-1}和q^{n-2}的系数，要想让它们匹配在一起，就要想办法让它们对应同一个q^n。这其实很容易办到，qcdot F中q^n的系数就是F_{n-1}，同理， q^2cdot F中q^n的系数就是F_{n-2}。

    于是，F-qcdot F-q^2cdot F中q的所有高于1的幂次前的系数都变成了0，只剩下了q。从而

    如果你能把 frac{q}{1-q-q^2} 展开成幂级数的形式，就自然求出了斐波那契数列的通项。

    现在，让我们回忆一个中学里十分常用的技巧

    这件事情的本质是将分母中的多项式作因式分解，将分母含有二次项的分式转换成分母只含一次项，而分母只含一次项的分式很容易写成幂级数

    回到F=frac{q}{1-q-q^2} ，我们可以用待定系数法完成上面的过程，设

    于是

    我们得到一个四元方程组

    这个方程组的难度只能称为小喽喽级别，凭借后两个方程解出

    代入到前两个方程中即得 a=frac{1}{sqrt{5}} ，b=-frac{1}{sqrt{5}} 。

    所以

    蕴含了斐波那契数列的通项为

    看起来不太像整数，但确实如此。

    生成函数是处理数列的常用工具，是离散走向连续的桥梁，很多人们关心的离散信息都复刻在这样一条DNA上。你们一定很奇怪我在定义F时用的自变量是q而不是x，事实上我想通过这种方式提醒大家无穷展开的广泛性，当q被某种具有周期性的基本函数替代时，我们就得到了傅立叶展开。作为著名的费马大定理证明核心的谷山－志村－韦伊猜想说的就是某种刻画了椭圆曲线模p点个数信息的生成函数可以与模形式的傅立叶展开对应起来，有机会再跟大家详聊。

    以上。
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