模拟101 题解

A. 五子棋

简单模拟。

注意获胜条件有四种情况不是三种

B. 迷宫

对于每个点封掉$d$条路。

考虑反向$dijkstra$跑最短路。

对于每个元素$i$，当第$d+1$次取出时视作$dis(i,n)$，更新相邻的点。

C. 三华聚顶

考场上的思路是，求出一个数组表示$i$步之后形成一个极大连续的用掉的气的区间$[l,r]$的概率。

根据这个数组，可以直接概率乘当前步的贡献统计答案，然而问题似乎并没有那么简单。

所以颓了$std$，顺便压了压行，其中英文的部分是原有的注释。

大致思路是类似的，仍然要考虑每个连续的区间。

一些理解在$std$的中文注释。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=205;
long double C[N][N];// binomial coefficient
struct Stat{ // contains stats about a random variable
    double sum_,cnt_;
    Stat():sum_(0),cnt_(0){}
    double E(){
        if(cnt_==0) return 0;    
        return sum_/cnt_;
    }
    void AddInfo(double expected,double cnt){
        sum_+=expected*cnt;
        cnt_+=cnt;
    }
}w[N][N],dp[N][N];
int n,g,t;
long double cap_avg(int x,int y,int upper){
    if(upper>n) return 0;
    return (x+y+1.0)/2;
}
int main(){
    cin>>n>>g>>t;
    vector<int> c(n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>c[i],c[i]=min(c[i],g); // tables larger than g don't make sense
    sort(c.begin()+1,c.end());
    c.resize(t+n+1,g); // add virtual tables that catch overflow
    int m=c.size();
    for(int i=0;i<=t;++i) for(int j=C[i][0]=1;j<=i;++j) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
    //w[i][j] has the statistics of filling up interval [i, j) with customers conditioned upon
    //*no one else* coming to the restaurant. Tables are numbered from 0 in ascending order.
    for(int i=m-1;~i;--i){
        w[i][i].AddInfo(0,1); // empty interval can be occupied in only one way
        for(int j=i+1;j<m;++j) if(i+t>=j){ // only process intervals of length <= t
            for(int k=i;k<j;++k){
                //merge [i,k) and [k+1,j) by occupying table k 
                long double cnt=w[i][k].cnt_*w[k+1][j].cnt_*(c[k+1]-c[i])*C[j-i-1][k-i];//j-i为区间长度 其中规定第k个最后一个出现 以保证不重 在前j-i-1个精中选择k-i个给左半边气，其余的直接分给右半边
                long double expected=w[i][k].E()+w[k+1][j].E()+cap_avg(c[k+1],c[i],k+1);
                w[i][j].AddInfo(expected,cnt);
            }
        }
    }
    //dp[i][k] has the statistics of filling up the first i tables with k different groups,
    //conditioned upon no one else coming. Some of the first i tables might be empty.
    for(int i=0;i<m;++i){//已经处理完的气
        if(i<=t) dp[i][i]=w[0][i];
        for(int k=0;k<=t;++k) if(dp[i][k].cnt_>0) for(int j=i+1;j<m;++j){//k为当前轮用了多少精 j为转移到多少气
            int new_cnt=k+((j-1)-i); //因为第j个不能用 第i个也不能用 所以(j-1)-i为当前一段连续区间中用到了多少个气 也就是精的增加量
    　　　　 //所以newcnt为之后处理了多少个精
            if(new_cnt>t) break;
            long double expected=dp[i][k].E()+w[i+1][j].E();//用了[i+1,j)的气
            long double cnt=dp[i][k].cnt_*w[i+1][j].cnt_*C[new_cnt][k];
            dp[j][new_cnt].AddInfo(expected,cnt);
            //dp[i][j] 考虑区间[0,i] 其中用到的气分成若干段
            //第i个气一定没有被用   j是已经考虑完了j个精
        }
    }
    printf("%.12lf
",dp[m-1][t].E());
    return 0;
}