• 模拟74 题解


    A. 梦境

    已经做过很多类似的套路题。

    都是排序后贪心就完了。

    将所有的区间以右端点排序,

    因为每个区间对答案贡献相同为1,

    区间右端点不断增加,那么显然可以直接取尽量靠左的点。

    用$multiset$维护一下点,支持后继操作就可以了。

    因为题中有相同的点,用$set$必死。

    B. 玩具

    题意大概是

    树上的每一个点随机选择一个编号小于它的点作父亲,

    求树高的期望。

    设$dp_{i,j}$表示$i$个点,树高为$j$的方案数,考虑新加一个点对树高的贡献。

    正常的思路是将这个新加的点放在叶子节点,然后就会发现这个$dp$死掉了。

    所以我们尝试将这个点放在根节点。

    那么转移到$dp_{i,j}$要求是,将$i-1$个点分为任意棵子树,保证每一棵子树的深度不超过$j-1$,并且存在一棵子树的深度为$j-1$。

    用一个数组辅助转移,那么转移是可以进行的。

    需要注意的是这个转移关注编号而不关注子树的相对顺序,我只打出了$O(n^5)$,卡常可过。

    然后这个算法就死掉了。

    正解修改了状态的定义:

    $f_{i,j}$表示$i$个节点形成的树中,最大深度不超过$j$的概率。

    $g_{i,j}$表示$i$个节点形成的森林中,最大深度不超过$j$的概率。

    显然$f_{i,j}=g_{i-1,j-1}$,即在森林的根节点加入一个节点。

    $g$数组的转移类似卷积的形式,也是可以进行的。

    注意到$g_{i,j}$由$f_{k,j}$和$g_{i-k,j}$拼凑是有一个概率的。

    设这个概率为$dp_{i,j}$,表示$i$个节点的森林中,有$j$个节点组成第一棵子树的概率。

    $dp_{i,j}$在数值上等于$frac{1}{i}$,可以简单归纳证明。

    然而$dp$数组的递推式似乎并没有那么简单。

    然而yxs大神对此的理解非常深刻。

    C. 飘雪圣域

    因为题中保证是一棵树。

    显然的性质是:

    联通块数=点数-边数。

    对于每一个询问,点数是确定的,即$r-l+1$。

    那么只要查询询问区间覆盖的边数。

    对于一条边$(a,b)$,需要满足的限制是

    $$l<=a<=r$$

    $$l<=b<=r$$

    显然的二维偏序问题。

    因为不需要修改,$vector$在排序后支持二分操作,直接树状数组套一个$vector$就可以了。

    当然本题有各种各样的方法做到$O(nlog)$,但是没有必要。

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