算法导论-----------二叉搜索树【转】

转自：https://blog.csdn.net/chenxun_2010/article/details/41709801

先上二叉树查找树的删除的代码，因为删除是二叉查找树最复杂的操作：

 

1. int BinarySearchTree<T>::tree_remove(const T& elem)
2. {
3. BinarySearchTreeNode<T> *z = tree_search(elem);//根据元素查找到要删除的节点
4. BinarySearchTreeNode<T> *x, *y;
5.  
6. if (z != NULL)
7. {
8. //用y来表示实际要删除的节点
9. if (z->left == NULL || z->right == NULL)//最多只有一个儿子节，要么没有儿子节点
10. y = z;
11. else
12. y = tree_search(tree_successor(elem));//有两个儿子的时候实际删除的是后继节点
13.  
14. //因为有上面的if语句，所以y要么只有一个儿子，要么没有儿子。后继节点只有右儿子或者没有儿子
15. //所以x要么是儿子节点，要么是空节点
16. if (y->left != NULL)
17. x = y->left;
18. else
19. x = y->right;
20.  
21. if (x != NULL)//判断y节点有没有儿子节点，有的花就把y节点的父节点变成x的父节点。
22. x->parent = y->parent;
23.  
24. //y是根节点或者不是根节点的情况
25. if (y->parent == NULL)
26. root = x;
27. else if (y == y->parent->left)//如果y节点不是根节点的情况该怎么处理呢？
28. y->parent->left = x;
29. else
30. y->parent->right = x;
31.  
32. //处理后继节点的情况，因为y表示后继的时候y！=z；
33. if (y != z)
34. z->elem = y->elem;
35. delete y;
36. }
37.  
38. return -1;
39. }

二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质，如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值，如何找出某一个元素的前驱和后继，如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比，一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn)，从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、二叉查找树

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。

一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示：

书中给出了一个定理：如果x是一棵包含n个结点的子树的根，则其中根遍历运行时间为θ(n)。

问题：二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别？能否利用最小堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？

2、查询二叉查找树

　　二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进行了详细的讲解。

（1）查找SEARCH

　　在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似，根据二叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：首先是关键字k与树根的关键字进行比较，如果k大比根的关键字大，则在根的右子树中查找，否则在根的左子树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右子树中做出选择，减少一半的工作量）

书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码：

 

1. TREE_SEARCH(x,k)
2. if x=NULL or k=key[x]
3. then return x
4. if(k<key[x])
5. then return TREE_SEARCH(left[x],k)
6. else
7. then return TREE_SEARCH(right[x],k)

1. ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)
2. while x!=NULL and k!=key[x]
3. do if k<key[x]
4. then x=left[x]
5. else
6. then x=right[x]
7. return x

（2）查找最大关键字和最小关键字

　　根据二叉查找树的特征，很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字：从根结点开始，沿着各个节点的left指针查找下去，直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树，则以x为根的子树中，最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字：从根结点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码：

 

1. TREE_MINMUM(x)
2.  
3. while left[x] != NULL
4.  
5. do x=left[x]
6.  
7. return x

 

 

1. TREE_MAXMUM(x)
2.  
3. while right[x] != NULL
4.  
5. do x= right[x]
6.  
7. return x

（3）前驱和后继

　　给定一个二叉查找树中的结点，找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同，则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点，后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质，不用对关键字做任何比较，就可以找到某个结点的前驱和后继。

　　查找前驱步骤：先判断x是否有左子树，如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点，即是x的前驱。如果没有左子树，则从x继续向上执行此操作，直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程：

　　查找后继步骤：先判断x是否有右子树，如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点，即使x的后继。如果没有右子树，则从x的父节点开始向上查找，直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程：

书中给出了求x结点后继结点的伪代码:

 

1. TREE_PROCESSOR(x)
2. if right[x] != NULL
3. then return TREE_MINMUM(right(x))
4. y=parent[x]
5. while y!= NULL and x ==right[y]
6. do x = y
7. y=parent[y]
8. return y

定理：对一棵高度为h的二叉查找，动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。

3、插入和删除

　　插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。

（1）插入

　　插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：

书中给出了插入过程的伪代码：

 

1. TREE_INSERT(T,z)
2. y = NULL;
3. x =root[T]
4. while x != NULL
5. do y =x
6. if key[z] < key[x]
7. then x=left[x]
8. else x=right[x]
9. parent[z] =y
10. if y=NULL
11. then root[T] =z
12. else if key[z]>key[y]
13. then keft[y] = z
14. else right[y] =z

插入过程运行时间为O(h)，h为树的高度。

（2）删除

　　从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：

<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：

<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：

<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。

书中给出了删除过程的伪代码：

 

1. TREE_DELETE(T,z)
2. if left[z] ==NULL or right[z] == NULL
3. then y=z
4. else y=TREE_SUCCESSOR(z)
5. if left[y] != NULL
6. then x=left[y]
7. else x=right[y]
8. if x!= NULL
9. then parent[x] = parent[y]
10. if p[y] ==NULL
11. then root[T] =x
12. else if y = left[[prarnt[y]]
13. then left[parent[y]] = x
14. else right[parent[y]] =x
15. if y!=z
16. then key[z] = key[y]
17. copy y's data into z
18. return y

定理：对高度为h的二叉查找树，动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。

4、实现测试

　　采用C++语言实现一个简单的二叉查找树，支持动态集合的基本操作：search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示：

 

1. template<class T>
2. class BinarySearchTreeNode
3. {
4. public:
5. T elem;
6. BinarySearchTreeNode<T> *parent;
7. BinarySearchTreeNode<T> *left;
8. BinarySearchTreeNode<T> *right;
9. };
10.  
11. template<class T>
12. class BinarySearchTree
13. {
14. public:
15. BinarySearchTree();
16. void tree_insert(const T& elem);
17. int tree_remove(const T& elem);
18. BinarySearchTreeNode<T> *tree_search(const T& elem) const;
19. T tree_minmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const;
20. T tree_maxmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const;
21. T tree_successor(const T& elem) const;
22. T tree_predecessor(const T& elem) const;
23. int empty() const;
24. void inorder_tree_walk() const;
25. BinarySearchTreeNode<T>* get_root() { return root; }
26.  
27. private:
28. BinarySearchTreeNode<T>* root;
29. };

 完整程序如下所示：

 

1. #include<iostream>
2. #include<stack>
3.  
4. using namespace std;
5. /*-----------------------------------------------------------------------------------------------*/
6. /*采用C++语言实现一个简单的二叉查找树，支持动态集合的基本操作： */
7. /*search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示： */
8. /*------------------------------------------------------------------------------------------------*/
9.  
10. template<class T>
11. class BinarySearchTreeNode
12. {
13. public:
14. T elem;
15. BinarySearchTreeNode<T> *parent;
16. BinarySearchTreeNode<T> *left;
17. BinarySearchTreeNode<T> *right;
18. };
19.  
20. template<class T>
21. class BinarySearchTree
22. {
23. public:
24. BinarySearchTree();
25. void tree_insert(const T& elem);
26. int tree_remove(const T& elem);
27. BinarySearchTreeNode<T> *tree_search(const T& elem) const;
28. T tree_minmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const;
29. T tree_maxmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const;
30. T tree_successor(const T& elem) const;
31. T tree_predecessor(const T& elem) const;
32. int empty() const;
33. void inorder_tree_walk() const;
34. BinarySearchTreeNode<T>* get_root() { return root; }
35.  
36. private:
37. BinarySearchTreeNode<T>* root;
38. };
39.  
40. //构造函数，初始化二叉查找树。
41. template <class T>
42. BinarySearchTree<T>::BinarySearchTree()
43. {
44. root = NULL;
45. }
46.  
47.  
48. template <class T>
49. void BinarySearchTree<T>::tree_insert(const T& elem)
50. {
51. if (!empty())
52. {
53. BinarySearchTreeNode<T> *p_node = root;
54. BinarySearchTreeNode<T> *q_node = NULL;
55. BinarySearchTreeNode<T> *new_node = new BinarySearchTreeNode<T>;
56.  
57. new_node->elem = elem;
58. new_node->left = NULL;
59. new_node->right = NULL;
60. new_node->parent = NULL;
61.  
62. while (p_node)
63. {
64. q_node = p_node;
65. if (p_node->elem > elem)
66. p_node = p_node->left;
67. else
68. p_node = p_node->right;
69. }//当p_node为空的时候，q_node正好是正确的插入位置的父节点，且q_node是叶节点.
70.  
71. if (q_node->elem > elem)
72. q_node->left = new_node;
73. else
74. q_node->right = new_node;
75. new_node->parent = q_node;
76. }
77. else
78. {
79. root = new BinarySearchTreeNode<T>;
80. root->elem = elem;
81. root->parent = NULL;
82. root->left = NULL;
83. root->right = NULL;
84. }
85. }
86.  
87. //二叉查找树节点的删除
88. template <class T>
89. int BinarySearchTree<T>::tree_remove(const T& elem)
90. {
91. BinarySearchTreeNode<T> *z = tree_search(elem);
92. BinarySearchTreeNode<T> *x, *y;
93.  
94. if (z != NULL)
95. {
96. //用y来表示实际要删除的节点
97. if (z->left == NULL || z->right == NULL)//最多只有一个儿子节，要么没有儿子节点
98. y = z;
99. else
100. y = tree_search(tree_successor(elem));//有两个儿子的时候实际删除的是后继节点
101.  
102. //因为有上面的if语句，所以y要么只有一个儿子，要么没有儿子。后继节点只有右儿子或者没有儿子
103. //所以x要么是儿子节点，要么是空节点
104. if (y->left != NULL)
105. x = y->left;
106. else
107. x = y->right;
108.  
109. if (x != NULL)
110. x->parent = y->parent;
111.  
112. if (y->parent == NULL)
113. root = x;
114. else if (y == y->parent->left)
115. y->parent->left = x;
116. else
117. y->parent->right = x;
118.  
119. //处理后继节点的情况，因为y表示后继的时候y！=z；
120. if (y != z)
121. z->elem = y->elem;
122. delete y;
123. }
124.  
125. return -1;
126. }
127.  
128.  
129. // BinarySearchTreeNode<T>* 返回类型，返回查找元素elem的节点
130. template <class T>
131. BinarySearchTreeNode<T>* BinarySearchTree<T>::tree_search(const T& elem) const
132. {
133. BinarySearchTreeNode<T> *pnode = root;
134. while (pnode)
135. {
136. if (pnode->elem == elem)
137. break;
138. else if (pnode->elem > elem)
139. pnode = pnode->left;
140. else
141. pnode = pnode->right;
142. }
143.  
144. return pnode;
145. }
146.  
147. //返回最小关键字的元素，可以参考书上用递归方法的写
148. template <class T>
149. T BinarySearchTree<T>::tree_minmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const
150. {
151. BinarySearchTreeNode<T> *pnode = root;
152.  
153. while (pnode->left)
154. pnode = pnode->left;
155. return pnode->elem;
156. }
157.  
158. //返回最大关键字的元素，可以改用递归，不过效率降低
159. template <class T>
160. T BinarySearchTree<T>::tree_maxmum(BinarySearchTreeNode<T>* root) const
161. {
162. BinarySearchTreeNode<T> *pnode = root;
163.  
164. while (pnode->right != NULL)
165. pnode = pnode->right;
166.  
167. return pnode->elem;
168. }
169.  
170.  
171. //后继节点
172. template <class T>
173. T BinarySearchTree<T>::tree_successor(const T& elem) const
174. {
175. BinarySearchTreeNode<T>* pnode = tree_search(elem);
176. BinarySearchTreeNode<T>* parentnode;
177. if (pnode != NULL)
178. {
179. if (pnode->right)
180. return tree_minmum(pnode->right);
181. parentnode = pnode->parent;
182. while (parentnode && pnode == parentnode->right)
183. {
184. pnode = parentnode;
185. parentnode = parentnode->parent;
186. }
187. if (parentnode)
188. return parentnode->elem;
189. else
190. return T();
191. }
192. return T();
193. }
194.  
195. //前继节点
196. template <class T>
197. T BinarySearchTree<T>::tree_predecessor(const T& elem)const
198. {
199. BinarySearchTreeNode<T>* pnode = tree_search(elem);
200. BinarySearchTreeNode<T>* parentnode;
201. if (pnode != NULL)
202. {
203. if (pnode->right)
204. return tree_maxmum(pnode->right);
205. parentnode = pnode->parent;
206. while (parentnode && pnode == parentnode->left)
207. {
208. pnode = parentnode;
209. parentnode = pnode->parent;
210. }
211. if (parentnode)
212. return parentnode->elem;
213. else
214. return T();
215. }
216. return T();
217. }
218.  
219. template <class T>
220. int BinarySearchTree<T>::empty() const
221. {
222. return (NULL == root);
223. }
224.  
225.  
226. //按照大小顺序输出二叉查找树，即中根遍历的方法输出二叉查找树.使用stack功能的实现。
227. template <class T>
228. void BinarySearchTree<T>::inorder_tree_walk() const
229. {
230. if (NULL != root)
231. {
232. stack<BinarySearchTreeNode<T>*> s;
233. BinarySearchTreeNode<T> *P_temp;
234. P_temp = root;
235. while (NULL != P_temp || !s.empty())
236. {
237. if (NULL != P_temp)
238. {
239. s.push(P_temp);
240. P_temp = P_temp->left;
241. }
242. else
243. {
244. P_temp = s.top();
245. s.pop();
246. cout << P_temp->elem << " ";
247. P_temp = P_temp->right;
248. }
249. }
250. }
251. }
252.  
253. int main()
254. {
255. BinarySearchTree<int> bstree;
256. BinarySearchTreeNode<int>* ptnode, *proot;
257. bstree.tree_insert(32);
258. bstree.tree_insert(21);
259. bstree.tree_insert(46);
260. bstree.tree_insert(54);
261. bstree.tree_insert(16);
262. bstree.tree_insert(38);
263. bstree.tree_insert(70);
264. cout << "inorder tree walk is: ";
265. bstree.inorder_tree_walk();
266. proot = bstree.get_root();
267. cout << " max value is: " << bstree.tree_maxmum(proot) << endl;
268. cout << "min value is: " << bstree.tree_minmum(proot) << endl;
269. ptnode = bstree.tree_search(38);
270. if (ptnode)
271. cout << "the element 38 is exist in the binary tree. ";
272. else
273. cout << "the element 38 is not exist in the binary tree. ";
274. cout << "the successor of 38 is: " << bstree.tree_successor(38) << endl;
275. cout << "the predecessor of 38 is:" << bstree.tree_predecessor(38) << endl;
276. if (bstree.tree_remove(46) == 0)
277. cout << "delete 46 successfully" << endl;
278. else
279. cout << "delete 46 failed" << endl;
280. cout << "inorder tree walk is: ";
281. bstree.inorder_tree_walk();
282. exit(0);
283. }

程序测试结果如下所示：

 

二叉查找上各种基本操作的运行时间都是O(h)，h为树的高度。但是在元素插入和删除过程中，树的高度会发生改变。如果n个元素按照严格增长的顺序插入，那个构造出的二叉查找树的高度为n-1。例如按照先后顺序插入7、15、18、20、34、46、59元素构造二叉查找树，二叉查找树结构如下所示：

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