最近比较闲，打算整理一下之前学习的关于程序语言的知识。主要的内容其实就是一边设计程序语言一边写解释器实现它。这些知识基本上来自Programming Languages and Lambda Calculi和Essentials of Programming Languages这两本书。
我还记得高中奥数竞赛培训时的老师这样说过：“解题时一定要抓住定义。” 编程和解题一样，也要抓住定义。 所以在写解释器前，得先定义好这门要解释的程序语言。 这门程序语言基于Lambda演算。
从(lambda)演算讲起
真不想讲(lambda)演算……算了，还是简要说明一下。(lambda)演算之于程序语言中的地位好比集合论之于数学。正如每一本数学教材，都要从集合论开始； 每一本程序语言教材，也要从(lambda)演算讲起。 不过话说回来，追根溯源(lambda)演算也是从集合论搭起来。 咱就不走那么远了，又累又没什么意思……
(lambda)演算中的基本类型只有变量和函数两种。 变量用大写字母(X)表示。 像(a,b,x,y,abc,...)都是变量。 一个函数包含两个元素： 一个是函数参数（形参），它是一个变量； 另一个元素是函数体，它是一个(lambda)演算表达式（这里是递归定义）。 用(lambda X M)表示一个函数， 其中X是一个变量，M是一个(lambda)演算表达式（ 别吐槽参数X那里少了个括号。 ）。 为了描述的简洁，也用(lambda X.M)表示一个函数。
举个例子，(lambda x.x)是一个恒等函数(f(x) = x)。 在数学上一般用(f(a))表示函数调用，(a)是实参。 在(lambda)演算中把函数也放入括号，记为((lambda x.x ; a))。 函数调用的计算方法是在函数体中用实参替换形参。 在这个例子里((lambda x.x ; a) = a)。 这个计算过程称为归约。
(lambda)演算的函数都只包含一个参数。 如果要使用多参函数，可以用多个函数嵌套。 下面是一个例子： [ lambda x.lambda y.(x ; y) ] 这种技巧被称作currying。
从上面的讨论看出，(lambda)演算只包含三种表达式。 形式化地定义(lambda)演算的语法如下： egin{eqnarray*} M, N, L &=& X \ &|& lambda X.M \ &|& (M ; N) end{eqnarray*} 这里用大写字母(M)、(N)和(L)代表(lambda)演算的表达式， 这是个递归定义，第二行、第三行出现了(M)和(N)。 第三行表达式是一个函数调用，一般要求处于函数位置的(M)应该要能归约成一个函数，否则归约就没法进行下去啦。
下面给出几个(lambda)演算的表达式的例子： egin{eqnarray*} & x \ & lambda x.x \ & (lambda x.x ; y) \ & (lambda x.(x ; x) ; lambda x.x) \ & (lambda x.(x ; x) ; lambda x.(x ; x)) end{eqnarray*}
(lambda)演算的归约依赖于替换操作。 在介绍替换操作之前还得先介绍自由变量。
自由变量
考察一个表达式：((lambda x.(lambda x.x ; x) ; a))。 这个表达式归约到((lambda x.x ; a))。 可以看到，在(lambda x.(lambda x.x ; x))函数体((lambda x.x ; x))中参数位置的变量(x)和(lambda x.x)中点后面的(x)是不一样的。 参数位置中的(x)被替换成(a)，而(lambda x.x)中点后面的(x)没有被替换。 被替换的(x)称为表达式((lambda x.x ; x))的自由变量。 在函数调用的替换过程中只有自由变量会被替换。
自由变量指一个表达式中没有受到约束的变量。 约束指这个变量不是作为某个函数的参数而存在。 如表达式(lambda x.(f x))中(f)是自由变量，(x)不是自由变量。 用(FV(M))表示表达式(M)中的所有自由变量的集合。
从这里开始，描述和(lambda)演算有关的一些定义和算法将遵循(lambda)演算的语法定义。 所以计算(FV(M))的算法（也是(FV(M))的精确定义）应该分成变量、函数和函数调用三种情况讨论： egin{eqnarray*} FV(X) &=& {X} \ FV(lambda X.M) &=& FV(M) ackslash {X} \ FV((M ; N)) &=& FV(M) cup FV(N) end{eqnarray*}
替换
用记号(M[X leftarrow N])表示在表达式(M)中将自由变量(X)（如果有出现这个自由变量）替换成表达式(N)。 更准确的定义如以下公式： egin{eqnarray*} X_1[X_1 leftarrow N] &=& N \ X_2[X_1 leftarrow N] &=& X_2 \ &&其中X_1 eq X_2 \ (lambda X_1.M)[X_1 leftarrow N] &=& (lambda X_1.M) \ (lambda X_1.M)[X_2 leftarrow N] &=& (lambda X_3.M[X_1 leftarrow X_3][X_2 leftarrow N]) \ &&其中X_1 eq X_2, X_3 otin FV(N), X_3 otin FV(M)ackslash{X_1} \ (M_1 ; M_2)[X leftarrow N] &=& (M_1[X leftarrow N] ; M_2[X leftarrow N]) end{eqnarray*} 第四个公式看着比较复杂，其实是为了避免(N)中有自由变量(X_1)这种情况。 举个例子，(lambda x.y[y leftarrow (x x)])应该替换为(lambda z.(x x))。 如果替换成(lambda x.(x x))就不对了。
如果(N)中没有自由变量(X_1)，那么这个公式可以简化成： egin{eqnarray*} (lambda X_1.M)[X_2 leftarrow N] = (lambda X_1.M[X_2 leftarrow N]) end{eqnarray*}
归约
所谓归约，可以理解成求值，或者表达式化简（初中好像有学过代数表达式化简）。 (lambda)演算有三种归约方法。 三种归约分别称为(alpha)归约，(eta)归约和(eta)归约。 名字看着很渗人，不表示这三种归约难以理解，只说明命名的人没有一颗爱玩的心。
- (alpha)归约的意思是，函数参数变量的变量名是什么无关紧要。 比如(lambda x.x)和(lambda y.y)表示的同一个函数。 这个归约很基本，但是几乎上不会被用到就是的了。 [ lambda X_1.M ightarrow_alpha lambda X_2.M[X_1 leftarrow X_2] quad ext{其中}X_2 otin FV(M)]
- (eta)归约表示了函数调用过程，是最常用的归约。 (eta)归约用函数调用的输入参数（实参）替换函数体中出现的参数变量（形参）： [ (lambda X.M ; N) ightarrow_eta M[X leftarrow N] ]
- (eta)归约指： [ lambda X.(M ; X) ightarrow_eta M quad ext{其中}X otin FV(M)] 这个有点怪，但仔细想想不难理解。
一个解释器的作用是输入一个表达式，输出该表达式归约到最简（不能再(eta)归约）的形式。 一般我们是希望这个最简形式能够是一个变量（(X)）或者一个函数（(lambda X.M)），因为函数调用是用来让人进行(eta)归约的。 变量，或者函数，被称为“值”。 但是也有些坏掉了的表达式像((x ; x))，由于(x)是个变量而非函数，这个表达式没法再归约。 通常这种表达式被认为非法的表达式。 如果输出这种结果就表示输入程序有误，程序崩溃。 另外有些表达式不能归约到某种最简形式，也就是无限循环（可怜的西西弗斯）。 无限循环的一个经典例子是这个输入：((lambda x.(x ; x) ; lambda x.(x ; x)))。
一个解释器，给它一个输入，它会有以下三种情况：
- 输出一个值:-)
- 崩溃XD
- 无限循环@_@
呼！总算写完。