Codeforces 934D/933B

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给定两个正整数p(p≥1)、k(k>1)。多项式f(x)的系数的取值集合为{0,1,2,...,k-1}，且存在多项式q(x)，s.t.f(x)=q(x)·(x+k)+p。求多项式f(x)。

设$f(x)=sum_{i=0}^{n}a_i x^i$，$q(x)=sum_{i=0}^{n-1}b_i x^i$，则：$f(x)=q(x)cdot(x+k)+p=kb_0+p+sum_{i=1}^{n-1}(kb_i+b_{i-1})x^i+b_{n-1}x^n$。于是，

$$a_i=egin{cases} kb_0+p,i=0\kb_i+b_{i-1},1le i<n\b_{n-1},i=nend{cases}$$

由于0≤a_i<k，于是，

$$b_i=egin{cases} leftlceil-frac{p}{k} ight ceil,i=0\leftlceil-frac{b_{i-1}}{k} ight ceil,1le i<nend{cases}$$

即可确定多项式系数。参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#define MAX_N 10000

int64_t a[MAX_N], b[MAX_N];

int64_t ceil_div(int64_t x, int64_t y)
{
    int64_t res = x / y;
    if (x > 0 && x % y) res++;
    return res;
}

int main(void)
{
    int64_t p, k;
    scanf("%I64d%I64d", &p, &k);
    int d = 1;
    b[0] = ceil_div(-p, k);
    a[0] = k * b[0] + p;
    for (int i = 1; i < MAX_N; i++) {
        b[i] = ceil_div(-b[i - 1], k);
        a[i] = k * b[i] + b[i - 1];
        if (a[i]) d = i + 1;
    }
    printf("%d
", d);
    for (int i = 0; i < d; i++)
        printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}