Educational Codeforces Round 35 B/C/D

B. Two Cakes

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本题是一个数学问题。

有a个Ⅰ类球，b个Ⅱ类球；有n个盒子。将球放入盒子中，要求：

①所有的球均被放入盒子中；

②每一个盒子中至少有一个球；

③一个盒子里至多只能有一类球。

设将所有的球放入盒子后，每个盒子里至少有x个球。求x的最大值。

由上述规则可知，一个盒子或放入Ⅰ类球，或放入Ⅱ类球。设放入Ⅰ类球的盒子数为i，放入Ⅱ类球的盒子数为j，则：i+j=n。

于是，为使盒子中放入球的最小个数最大化，应尽量遵循平均性原则。于是，在放入Ⅰ类球的盒子中，每个盒子至少有[a/i]个球；在放入Ⅱ类球的盒子中，每个盒子至少有[b/j]个球。

于是，设cur(i)=min{[a/i],[b/j]}，则所求的x即为遍历i=1,2,...,n-1时，cur(i)取得的最大值。

参考程序如下：

#include <stdio.h>

int min(int a, int b)
{
    return a < b? a: b;
}

int main(void)
{
    int n, a, b;
    scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
    int x = 0;
    for (int i = 1; i <= a && i < n; i++) {
        int j = n - i;
        int cur = min(a / i, b / j);
        if (cur > x) x = cur;
    }
    printf("%d
", x);
    return 0;
}

C. Three Garlands

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本题是一个数学问题。

给定三个正整数数k₁,k₂,k₃，于是，对于给定的三个正整数x₁,x₂,x₃，可以按照周期性规则，构成三个集合{x₁+nk₁|n=0,1,2,...},{x₂+nk₂|n=0,1,2,...},{x₃+nk₃|n=0,1,2,...}。现要求这三个集合的并集覆盖max{x₁,x₂,x₃}及以后的所有自然数。试问对于给定的k₁,k₂,k₃，是否存在一组x₁,x₂,x₃，满足上述要求？

以下几种情形是满足要求的：

以下用“O”代表被数列中某一元素存在，“X”代表该元素不存在，则：

①若k₁,k₂,k₃为{1,?,?}，则将出现“OOOO…”的情形，显然构成了连续的整数区间；

②若k₁,k₂,k₃为{2,2,?}，则可以构造以下情形：

a.OXOXOXOX…

b.XOXOXOXO…

---------

OOOOOOOO…

如此，也可以构成了连续的整数区间；

③若k₁,k₂,k₃为{3,3,3}，则可以构造以下情形：

a.OXXOXXOXX…

b.XOXXOXXOX…

c.XXOXXOXXO…

----------

OOOOOOOOO…

如此，也可以构成了连续的整数区间；

④除此之外，若k₁,k₂,k₃为{4,4,2}，则可以构造以下情形：

a.OXXXOXXXO…

b.XXOXXXOXX…

c.XOXOXOXOX…

----------

OOOOOOOOO…

这里请关注情形④！！序列a、b恰好组成一个周期为2的序列“OXOXOXOXO…”。

除此之外，不存在满足条件的k₁,k₂,k₃。

参考程序如下：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int cnt[5] = {0};
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        int k;
        scanf("%d", &k);
        if (k <= 4) cnt[k]++;
    }
    if (cnt[1] >= 1 || cnt[2] >= 2 || cnt[3] == 3 ||
        cnt[4] == 2 && cnt[2] == 1) printf("YES
");
    else printf("NO
");
    return 0;
}

D. Inversion Counting

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本题是一个序列上的问题——逆序对。

定义数列{a_i|i=1,2,...,n}的逆序对如下：对于所有的1≤j<i≤n，若a_i<a_j，则<i,j>为一个逆序对。

于是，对于一个数列a[1..n]，给定m次操作。对于每一次操作，给定l,r(1≤l<r≤n)，将序列a[l..r]倒置。求倒置后的逆序对数——的奇偶性。

提到逆序对数，首先可以考虑——树状数组？归并排序？

然而，本题只需要求解逆序对数的奇偶性，于是设置一个0-1型变量flag，表示当前逆序对数的奇偶性。首先，计算初始序列的逆序对数。

之后，考虑某一次倒置操作：对于给定的l,r，记d=l-r+1，若倒置前序列a[l..r]的逆序对数为x，则倒置后序列的逆序对数为C_d²-x。于是，考虑C_d²的奇偶性即可。若这是一个奇数，则逆序对数的奇偶性变化；否则不变化。参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX_N 2000

int a[MAX_N];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    bool flag = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (a[i] < a[j]) flag = !flag;
        }
    }
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m--) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        int d = r - l + 1;
        if (d & 2) flag = !flag;
        if (flag) printf("odd
");
        else printf("even
");
    }
    return 0;
}