本节的内容是最大流 (Max Flow) - 最小割 (Mini-Cut) 问题，涉及的算法是 Ford-Fulkerson 算法。
Definitions
Flow Network
流网络 (Flow Network) ，即图 (G = (V,E,s,t,c)) :
- (s) 是源点，(t) 是终点。
- (forall{e in E}, c(e) > 0) ，边的权值 (c(e)) 表示该边的最大流量。
Max Flow 问题：找到给定的 (G) 中，(s) 到 (t) 的最大流量。例如在下图中，最大流量为 30 （在点 (u) ，20 的流量分为 10 + 10 走 2 个不同的边）。
定义 (st-flow) 函数 (f) ，(f(e)) 表示实际流过该边的流量。
Minimum Cut
严格来说是最小的 (st-cut) ，即：给定 (s,t in V) ，求出权值最小的割集（即边割集）(S) ，使得图分为 (A,B) 两部分，且 (s in A, t in B) .
显然，(S) 中的所有边，一端在 (A) 中，另外一端在 (B) 中。
最大流-最小割已被证明是对偶问题，因此求出最大流即求出最小割。
Greedy Algorithm
Greedy Algorithm:
- Start with (f(e)=0) for each edge (e in E).
- Find a (s ightarrow t) path (P) where each edge has (f(e) < c(e)).
- Augment flow along path (P).
- Repeat until you get stuck.
通过一个例子说明贪心策略是如何工作的。
- 给定的图如下。
- 从 (f(e) = 0) 的边开始找路径。
- 修改每个边的实际流量为该路径上的边的最大权值
- 从另外的 (f(e) = 0) 的边开始找路径，重复上述过程。
- 再重复一遍。
- 最终结果。
上述贪心算法得到的最大流为 16 ，而实际上，我们的最大流其实是可以达到 19 。
贪心算法得不到最优的原因：Once greedy algorithm increases flow on an edge, it never decreases it. And we need some mechanism to undo a bad decision.
比如上面的 2/2 这条边，相当于「走错路」了，但是贪心算法无法消除这种错误，这是与 Ford-Fulkerson 算法的本质区别。
Ford-Fulkerson Algorithm
Residual Network
大白话：在另外一个图中，构造一个额外的反向边，权值是实际流过原边的流量 (f(e)) 。
Augmenting Path
不少地方把 Augmenting Path 翻译为「增广路径」，匈牙利算法里面的增广路径也是从这里引申而来的。
残留网络 (G_f) 具有下列性质：
- An augmenting path (P) is a simple (s ightarrow t) path in the residual network (G_f) .
- The bottleneck capacity of an augmenting path (P) is the minimum residual capacity of any edge in (P).
Ford-Fulkerson
该算法的时间复杂度为 (O(VEC)) ，经过优化之后可以达到 (O(E^2log{C})) .
Augment
Example
来自 CLRS 的《算法导论》的一个例子。
注意，在图 e 和 图 f 中，((s, v_2)) 之间的 2 条边的权值标注应该是反过来的（这应该是书本的谬误）。
观察从 (t) 出来的 2 个反向边，根据定义，这 2 条边的权值就是流入 (t) 的流量，因此此处例子的最大流为 23 。
前面提到，贪心算法失效的原因是：一旦选定了一条「错误」的边（即不在最优解中的边），贪心策略无法消除这种错误。而这里的 Ford-Fulkerson 算法是怎么做到这一点的呢？
在图 (a) 中，原图 (G) 给定的一边为 (v_2 ightarrow v_1) ，在算法执行过程中，在 Residual Network 中，会产生一个反向边 (v_1 ightarrow v_2) ：
- 在图 (b) 中，选择了一个 Augmenting Path，包括了 (v_2 ightarrow v_1) 这条边，执行 (Augment(f,c,P)) 之后，产生反向边 (v_1 ightarrow v_2) 。
- 在图 (c) 中，选择了一个 Augmenting Path，包括了反向边 (v_1 ightarrow v_2) ，这表明在之前的步骤中，流量流经 (v_2 ightarrow v_1) 是错误的选择，这就是 Ford-Fulkerson 「错误修正」的方式。
引用自 Refs [4] 的一个图解：
如果只是学这个算法去做题的话，看到这里已经可以了。
目前为止，我们已经解决了最大流问题，那么对应的最小割是什么呢？可以通过下面的步骤找到最小割：
- 在 (G_f) 中，本例中为图 (f) ，从 (s) 出发做一次 DFS/BFS，记录能到达的所有点为 (A) ，那么 ((A, V-A)) 是一对最小割。
- 在原图 (G) 中，本例中为图 (a)，任何 (A ightarrow V-A) 的边都是割边。
即本例的最小割集为 ({(v_1, v_3), (v_4, v_3), (v_4, t)}) ，最小割意味着：
- 去除这些边后，使得 (s) 和 (t) 不再连通。
- 把图分为 (B={v_3,t}) 和 (A={s, v_1, v_2, v_4}) 两部分。
但应当注意的是：割边一定满流，但满流的边不一定是割边。
Max-Flow Min-Cut Theorem
Lemma Let (f) be any flow and let ((A, B)) be any cut. Then, the value of the flow (f) equals the network flow across the cut ((A, B)).
设把最大流的起点和终点分别为 (s,t) , 并且 (s in A, t in B) ，那么有:
第一个等号是根据 (st-flow) 函数 (f) 的定义；第二个等号 Flow Network 的性质；第三个等号根据集合的定义。
Theorem - Weak Duality
证明最大流-最小割的弱对偶性。
Corollary
Max-Flow Min-Cut Theorem
最大流 / 最小割的 3 个等价条件。
-
[( ext{i} Rightarrow ext{ii})] : 根据上述的 Weak Duality 性质和 Corollary 。
-
[( ext{ii} Rightarrow ext{iii})] : 证明其逆否命题，即 (lnot ext{iii} Rightarrow lnot ext{ii}) .
- 假设 (G_f) 中存在一个 Augmenting Path (P) ，那么在路径 (P) 上，我们还能继续向 (G_f) 增加流量，这就意味着 (f) 不是一个 Max Flow 。证明成立。
-
[( ext{iii} Rightarrow ext{i})]
- Let (f) be a flow with no augmenting paths.
- Let (A) be set of nodes reachable from (s) in residual network (G_f) . And (B) is the set containing the left nodes (and every node in (B) can reach (t) ).
- By definition of (A) : (s in A) .
- By definition of flow (f) : (t otin A) .
- 如下图所示，(G_f) 中没有 Augmenting Path，当且仅当，在原图 (G) 中：
- 所有 (A ightarrow B) 的边，(f(e) = c(e))
- 所有 (B ightarrow A) 的边，(f(e) = 0)
- 为什么呢？如果 (G) 存在 (A ightarrow B) 的边 (e) ，(f(e) < c(e))，那么在 (G_f) 中会存在 (A ightarrow B) 的边，权值为 (c(e) - f(e))，使得 (G_f) 存在 Augmenting Path 。同理， (G) 所有 (B ightarrow A) 的边 (f(e) = 0)，意味着它在 (G_f) 中 对应的 (e^{ ext{reverse}}) （从 A 到 B 到边）的权值均为 0 ，同样保证了 A 不能到达 B （即 (G_f) 没有 Augmenting Path）。
- 那么就有：
[egin{aligned} val(f) &= sum_{e ext{ out of } A} f(e) - sum_{e ext{ in to } A} f(e) \ &= sum_{e ext{ out of } A} f(e) - 0 \ &= ext{cap(A, B)} end{aligned} ]
Further Analysis
复杂度分析的大致想法是：每次找到路径 (P)，都会使得流量至少增加 1 个单位，但最大流量只能为 (|V|C) （所以最多只能有 (|V|C) 个 Augmenting Path），(C) 是图中边的最大流量（边权最大值）。
每次通过 BFS/DFS 找到一个 Augmenting Path，需要在 (O(E)) 时间，因此总的时间复杂度为 (O(VEC)) ，因此该算法是一个伪多项式算法（与背包问题类似）。而在实际计算机的运行当中，(C) 是通过比特位来存储的，因此算法复杂度存在一定程度的「指数」成分。
考虑如下图的情况（图来自 Refs[2] ），如果每次找到的 Augmenting Path 是以下 2 条路径的交替：
- (P_1: s ightarrow u ightarrow v ightarrow t)
- (P_2: s ightarrow v ightarrow u ightarrow t)
显然，每次网络流的容量只增加 1 ，Ford-Fulkerson 算法需要进行 200 次迭代。
针对这一特殊情况，后续还要对该算法进行改进，采用更为「明智」的策略去选取 Augmenting Path:
- 选取 bottleneck capacity 较大（或者最大）的路径
- 选取边数最少的路径
此外，在该算法当中还有一个重要的问题：Ford-Fulkerson 算法假定图 (G) 的边权值都是整数，并且每个边的流量也是整数，在这种假设条件该算法可以找到图 (G) 的最大流。如果边权值和流量可以为浮点数，那么 Ford-Fulkerson 算法还能正常工作吗？
Ford-Fulkerson 算法只适用于边权值为有理数的情况。有理数包括整数和分数，如果为分数，可以对所有权值乘以分母的最小公倍数，转换为整数处理。
为什么无理数不适用呢？可以参考这个 Slide 给出的例子。
References
- [1] https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr04/cos226/lectures/maxflow.4up.pdf
- [2] KT05 - Algorithm Design (Chapter 7)
- [3] CLRS - Introduction to Algorithm
- [4] https://oi-wiki.org/graph/flow/max-flow/