算法笔记（八）：复杂度分析（二）

#感兴趣的可以去订阅极客时间前谷歌工程师的专栏：数据结构与算法之美，个人觉得写的很不错。这里只是我自己做的一个简单的笔记

（一） 对数阶时间复杂度

def tset(n):
    i = 1
    while i <= n:
        i = i*2

    上面这段代码，i 从1开始，循环一次乘于2，当大于n时，循环结束，我们可以得到2^x = n。要计算上面这段代码的时间复杂度，求解x的值就行了，根据数学基础中和对数相关的计算，可以得到x = log₂n = logn,所以这段代码的时间复杂度就是O（logn）。

        将代码修改成下面这样，很容易计算出，代码的时间复杂度是O（log₃n）。

def tset(n):
    i = 1
    while i <= n:
        i = i*3

        在对数中log₃n = log₃2*log₂n,所以O（log₃n） = O（log₃2*log₂n） = O（C*log₂n），其中C是常量，根据渐进符号的定义，计算时间复杂度时，我们可以忽略常量，所以上面这段代码的时间复杂度也是O（logn），同理，所有对数阶时间复杂度的表示中，可以统一表示为O（logn）。

   如果一段代码的时间复杂度是O（logn），如果循环运行n次，那么时间复杂度就是O（nlogn）。

（二） 空间复杂度

  下面这段代码，和分析时间复杂度一样，因为只有第三行代码创建了一个大小为n的数组，其他不是常量就是不占用内存空间，所以这段代码的空间复杂度是O（n）

def test1(n):
    a = 0
    arr = numpy.arange(n)
    for i in range(n):
        arr[i] = i*i
    return arr

（三）  最好、最坏、平均时间复杂度

 这里我们用之前线性查找的例子：

import numpy as np

#找到结果，返回索引，否则返回None
def search(array,key):
    for j in range(len(array)):
        if array[j] == key:
            return j
    return None

最好时间复杂度： 如果第一个元素就是我们要查找的元素，那么代码的时间复杂度就是O（1）

最坏时间复杂度：如果最后一个元素才是我们要查找的元素，或者数组中根本就没有我们要查找的元素，那么代码的时间复杂度就是O（n）

平均时间复杂度：查找元素在是否在数组中有2种情况，在数组中（0...n-1）和不在数组中，那么总共就有 n+1种情况，我们将需要查找的元素（可能运行的次数，第n个元素和不在数组中运行次数都是n次）相加除以n+1就可以得到代码的时间复杂度。

（1+2+3...+n+n）/ （n+1） = （n*(n+2)）/2（n+1），那么平均时间复杂度为O（n）。

1+2+3...+n  可以推导出公式 n(n+1)/2，详细推导过程不明白的可以自己网上查查资料。