投资组合的方差公式推导
- 背景
- 投资组合的期望收益率
- 投资组合的期望收益方差
- 随机变量的线性组合的方差公式推导
- \(n\) 项完全平方公式的推导
- 言归正传，继续推导随机变量的线性组合的方差公式
- 总结
背景
今天在看财务管理学课本，风险与收益章节的投资组合的风险计算这一节时， 发现课本所给的投资组合的总体期望收益方差的公式中有 \(i eq j\) 的标注，但是看后面的具体计算步骤时， 却使用了 \(i = j\) 的情况下的计算方式，故而感到疑惑，搜索百度，未见公式上有 \(i eq j\) 的标志。 因此打算自己推导一下。
投资组合的期望收益率
\(n\) 为投资项目数量，\({w}_{i}\) 为第\(i\) 项投资在投资组合中所占的比重， \({R}_{i}\) 为第 \(i\) 项投资的期望收益率
[{R}_{P} = sum _{i=1}^{n}{{w}_{i} {R}_{i}}]
投资组合的期望收益方差
投资组合的方差实际上就是投资组合的期望收益率的方差，它是 \(n\) 个随机变量的线性组合的方差
[{sigma}_{P}^{2} = sigma^2 left( {R}_{P} ight)]
翻开尘封了一整年的概率论课本，找到公式
[D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)]
课本上只给出了两个随机变量的线性组合的方差公式，并不知道推广到 \(n\) 项随机变量的线性组合的方差应该是怎样。
随机变量的线性组合的方差公式推导
由课本给出的以下公式
[D(X) = E[(X-E(X))^2]] [D(aX) = a^2D(X)] [Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)] [E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)] [D(X + Y) = E[(X+Y) - E(X+Y)]^2 = E[(X-E(X)) + (Y-E(Y))]^2 = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)]
得到
[D(aX + bY) = E[(aX+bY) - E(aX+bY)]^2 = E[(aX-aE(X)) + (bY-bE(Y))]^2 = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)] [Dleft( sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} ight) = E left{ sum _{i=1}^{n}{left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i}) ight]} ight}^2]
很显然，根据 [D(X)=Cov(X,X)] ，这个结构属于是一个 \(n\) 项的完全平方式，但是我从小就只学过两项的完全平方公式。。。
\(n\) 项完全平方公式的推导
私以为对于 \(({a}_{1} + {a}_{2} + cdots + {a}_{n})^2\) 的计算，可以看作一个行向量和一个列向量的积， 然后对结果的矩阵的所有元素求和便可得出结果
[ sum egin{pmatrix} {a}_{1} \ {a}_{2} \ cdots \ {a}_{n} end{pmatrix} imes egin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & cdots & {a}_{n} end{pmatrix} = sum egin{pmatrix} {a}_{1} * {a}_{1} & {a}_{1} * {a}_{2} & cdots & {a}_{1} * {a}_{n} \ {a}_{2} * {a}_{1} & {a}_{2} * {a}_{2} & cdots & {a}_{2} * {a}_{n} \ cdots \ {a}_{n} * {a}_{1} & {a}_{n} * {a}_{2} & cdots & {a}_{n} * {a}_{n} end{pmatrix} = sum _{i=1}^{n}{sum _{j=1}^{n}{ {a}_{i} {a}_{j} }}]
言归正传，继续推导随机变量的线性组合的方差公式
上面已经把 \(n\) 项投资组合的方差公式推导到了下面的形式
[ Dleft( sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} ight) = E left{ sum _{i=1}^{n}{left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i}) ight]} ight}^2 ]
通过刚刚推导出来的 \(n\) 项完全平方公式和 \(D(X)=Cov(X,X)\) 将该式展开成下面的形式，便是我们推导过程中的最终式
[ Dleft( {R}_{P} ight) = sum _{i=1}^{n}{ sum _{j=1}^{n}{ {w}_{i} {w}_{j} Cov({R}_{i}, {R}_{j}) } } ]
总结
这最终推导出来的公式与课本上的公式是一样的，但是并不具有 \(i eq j\) 的附加条件，因为在计算过程中，当 \(i\) 和\(j\) 相等的时候， 得出的项是某项投资的方差与权重的积 \({w}_{i}^2sigma_{i}^{2}\) ，这是符合随机变量的线性组合的方差公式的。 所以，课本上公式的附加条件\(i eq j\) 是课本的错误，不仅通过我个人的推导证明了，而且后面的例题等， 也都标明这一条件不成立。