LeetCode 304. Range Sum Query 2D

题目：

Given a 2D matrix matrix, find the sum of the elements inside the rectangle defined by its upper left corner (row1, col1) and lower right corner (row2, col2).

The above rectangle (with the red border) is defined by (row1, col1) = (2, 1) and (row2, col2) =(4, 3), which contains sum = 8.

Example:

Given matrix = [
  [3, 0, 1, 4, 2],
  [5, 6, 3, 2, 1],
  [1, 2, 0, 1, 5],
  [4, 1, 0, 1, 7],
  [1, 0, 3, 0, 5]
]

sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12

Note:

1. You may assume that the matrix does not change.
2. There are many calls to sumRegion function.
3. You may assume that row1 ≤ row2 and col1 ≤ col2.

分析：

给定一个二维矩阵，求其子矩阵内所有元素的和。

如果每次调用sumRegion，遍历范围内所有元素的和，这种办法可行但是并不可取。我们先来看下面这个图。

上图是求解一个矩形面积的图画 展示，可以清楚的理解各个矩形块之间的关系，我们把矩形内的元素和比作矩形的面积。定义dp为二维数组，dp[i][j]是以(i, j)元素为右下角，可以求得一个子矩阵内所有元素的和。那么我们把dp[i][j]的值想象成上图中矩形的面积，大矩形的面积=去除右边一列的面积+去除下边一行的面积-重复的地方(左上角的面积)+当前小矩形块的面积。

此时当前的小矩形块就是所给定的矩阵(i, j)位置的元素。

去除右边一列的面积也就是以(i, j-1)元素为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[i][j-1]。

去除下边一行的面积就是以(i-1, j)元素为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[i-1][j]。

左上角的面积则是以(i-1, j-1)元素为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[i-1][j-1]。

借此我们可以在O(mn)的时间内求的dp矩阵，接下来要求任意给定子矩阵的所有元素和，看下图。

同样还是将矩阵内的元素和比作矩形的面积，此时右下角为我们所要求的矩形面积=大矩形面积-去除右边区域的面积+去除下边区域的面积+重复的地方(左上角的面积)。

此时我们就可以利用上边所求的dp数组来快速求的结果。由于给了范围，也就是x1，y1，x2，y2，通过上面的图我们不难看出各个面积区域之间的关系。

实际上最后的结果也就是右下角的矩形面积。那么

大矩形面积也就是以x2, y2为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[x2][y2]。

去除右边区域的面积就是以x2, y1-1为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[x2][y1-1]。

去除下边区域的面积就是以x1-1, y2为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[x1-1][y2]。

左上角的面积就是以x1-1, y1-1为右下角的矩阵的元素和，实际上就是dp[x1-1][y1-1]。

最后的结果就是dp[x2][y2] - dp[x2][y1-1] - dp[x1-1][y2] + dp[x1-1][y1-1]。

小技巧就是开辟的dp数组长宽可以比原数组多1，这样就不用了处理边界条件了。

程序：

C++

class NumMatrix {
public:
    NumMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        if(matrix.empty())
            return;
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        
        dp = vector<vector<int>>(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        for(int i = 1; i <= m; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    
    int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return dp[row2+1][col2+1] - dp[row2+1][col1] - dp[row1][col2+1] + dp[row1][col1];
    }
private:
    vector<vector<int>> dp;
};

Java

class NumMatrix {

    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        if(matrix.length == 0 || matrix == null)
            return;
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        dp = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1; i <= m; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        
    }
    
    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return dp[row2+1][col2+1] - dp[row2+1][col1] - dp[row1][col2+1] + dp[row1][col1];
    }
    private int[][] dp;
}