三分
(写的很早忘了发布了...)今天高二的学长学姐们进行了二分和三分的测试(又名一本通课后题测试)，感觉这个好有意思~
什么时候可以用三分来解题呢?
·这个函数确实是单峰的。
·打表感觉是单峰的；
·坚信这道题别的做法都做不出来；
·要是以上三种都不符合建议还是退火或者爬山；
关于什么是三分，先咕咕咕了，来看一道题。
灯泡：https://loj.ac/problem/10016
题意概述：给出$H,h,D$,求阴影的最长长度(包括地上的和墙上的)。
有种初中数学的既视感。
解：设灯泡为$A$，人头为$B$，连接$AB$并延长，与地面的延长线交于点$C$.
于是就结束了...吗？
还有一种可能就是影子并没有到墙上去，但是影响不大，两个函数叠加起来还是单峰的，似乎就是那种对勾函数？
1 # include <cstdio> 2 # include <iostream> 3 4 using namespace std; 5 6 int T; 7 double H,h,d,a1,a2; 8 double ans,l,r,lmid,rmid; 9 10 double f (double x) 11 { 12 double ans=0,a,b; 13 b=h*(d-x)/(H-h); 14 if(b<=x) 15 return b; 16 ans+=x; 17 a=(x*H-d*h)/(h-H); 18 ans+=a*h/(x+a); 19 return ans; 20 } 21 22 int main() 23 { 24 scanf("%d",&T); 25 while (T--) 26 { 27 scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&d); 28 l=0,r=d,ans=0; 29 while (r-l>=0.0001) 30 { 31 lmid=l+(r-l)/3.0; 32 rmid=r-(r-l)/3.0; 33 a1=f(lmid); 34 a2=f(rmid); 35 if(f(lmid)<f(rmid)) 36 l=lmid; 37 else 38 r=rmid; 39 } 40 printf("%.3lf ",f(l)); 41 } 42 return 0; 43 }
迎风舞:https://www.cnblogs.com/shzr/p/9751719.html
传送带:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2571
题意概述:给定平面上的两条线段,在每条上移动的速度分别是$a$,$b$,也可以脱离线段到平面上走,同样有一个速度$c$,求从第一条线段上的$A$点到另一条上的$D$点的最短距离.
首先想到的是贪心...如果平面上走的快就到面上去,如果线上更快就在线上走,然而这个显然是错的,因为有时虽然线上走的快,但是却越走越偏?
最终的答案应该是在起始线段上走一段,再在平面上走一段到达终点线段,再在那条线段上一直走到终点.先考虑一个比较简单的问题,如果只是平面上有一条线段,求从某个点到线段端点的最小距离怎么做?列方程发现是一个二次函数,可以求出系数来求极值,也可以三分.现在考虑起始点不固定的情况:如果对于每个起始点都求出最小距离,可以视为一个关于起始点的函数.首先这个函数应该是连续的,所以要是想不明白上模拟退火也行,显然它不一定是单调的,但是应该也不是特别奇怪的形状,严谨的证明其实我也不会,但是可以感受一下.最优解肯定是存在的,而且起始点越偏离最优解答案就越劣.为什么?以下是胡乱证明,不保证正确:起始点移动一点,到达点也会相应的移动一些,在很小的范围内这种移动可能是单调的,但是过了某一个点之后就会往反方向移动?
总之网上也没找到好的证明,就这样吧.
注意:有可能某一条线段退化成一个点,三分还没开始就退出了...可以考虑换成控制三分次数的做法.
1 # include <cstdio> 2 # include <iostream> 3 # include <cmath> 4 # include <algorithm> 5 6 using namespace std; 7 8 const int maxn=300; 9 int ax,ay,bx,by; 10 int cx,cy,dx,dy; 11 double p,q,r; 12 double la,lb,L,R,lmid,rmid; 13 int cnt=maxn; 14 15 inline double l (double len,double x,double y) 16 { 17 double ans=0,x_,y_; 18 x_=cx,y_=cy; 19 if(lb) x_=len*(dx-cx)/lb+cx; 20 if(lb) y_=len*(dy-cy)/lb+cy; 21 ans+=sqrt((x_-dx)*(x_-dx)+(y_-dy)*(y_-dy))/q; 22 ans+=sqrt((x-x_)*(x-x_)+(y-y_)*(y-y_))/r; 23 return ans; 24 } 25 26 inline double f (double len) 27 { 28 double L=0,R=lb,lmid,rmid,x,y,l1; 29 x=ax,y=ay; 30 if(la) x=len*(bx-ax)/la+ax; 31 if(la) y=len*(by-ay)/la+ay; 32 l1=sqrt((x-ax)*(x-ax)+(y-ay)*(y-ay))/p; 33 int cnt=maxn; 34 while (cnt) 35 { 36 lmid=L+(R-L)/3.0; 37 rmid=R-(R-L)/3.0; 38 if(l(lmid,x,y)>l(rmid,x,y)) 39 L=lmid; 40 else R=rmid; 41 cnt--; 42 } 43 return l(L,x,y)+l1; 44 } 45 46 int main() 47 { 48 scanf("%d%d%d%d",&ax,&ay,&bx,&by); 49 scanf("%d%d%d%d",&cx,&cy,&dx,&dy); 50 scanf("%lf%lf%lf",&p,&q,&r); 51 la=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by)); 52 lb=sqrt((cx-dx)*(cx-dx)+(cy-dy)*(cy-dy)); 53 L=0,R=la; 54 while (cnt) 55 { 56 lmid=L+(R-L)/3.0; 57 rmid=R-(R-L)/3.0; 58 if(f(lmid)>f(rmid)) 59 L=lmid; 60 else R=rmid; 61 cnt--; 62 } 63 printf("%.2lf",f(R)); 64 return 0; 65 }
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