矩阵快速幂

矩阵是种神奇的东西，无奈我这种数学渣对于他的理解只能是表面。

快速幂应该都很熟悉，实际上把快速幂里面的乘法换成矩阵乘法就可以变为矩阵快速幂

上份模板：

typedef vector<int>vec;
typedef vector<vec>mat;
typedef long long ll;
mat mul(mat &A,mat &B){
    mat C (A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i){
        for(int k=0;k<B.size();++k){
            for(int j=0;j<B[0].size();++j){
                C[i][j]=(C[i][j]+(A[i][k]*B[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return C;
}
mat pow(mat A,ll n){
    mat B (A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i)B[i][i]=1;
    while(n>0){
        if(n&1)B = mul(B,A);
        A = mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}

矩阵快速幂有什么作用呢？优化递推关系！！！！

先看一下求第n项费布那切数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]

这样我们就可以快速的求得第n项

3734

题意：用红蓝绿黄去涂n个块，问红绿都为偶数块的方案数

假设当前前i个已经涂完其中红绿都为偶数有ai种，一奇一偶为bi,都为奇为ci ，那么对于i+1 有

a(i+1)=2*a(i)+b(i)

b(i+1)=2*a(i)+2*b(i)+2*c(i)

c(i+1)=b(i+1)+2*c(i)

这样就转化为求a(n)了

利用矩阵快速幂可以很好的解决。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#define maxn 50010
#define maxm 100010
#define mod 10007
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef vector<int>vec;
typedef vector<vec>mat;
typedef long long ll;
mat mul(mat &A,mat &B){
    mat C (A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i){
        for(int k=0;k<B.size();++k){
            for(int j=0;j<B[0].size();++j){
                C[i][j]=(C[i][j]+(A[i][k]*B[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return C;
}
mat pow(mat A,ll n){
    mat B (A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i)B[i][i]=1;
    while(n>0){
        if(n&1)B = mul(B,A);
        A = mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}
int n;
void solve(){
    mat A(3,vec(3));
    A[0][0]=2;A[0][1]=1;A[0][2]=0;
    A[1][0]=2;A[1][1]=2;A[1][2]=2;
    A[2][0]=0;A[2][1]=1;A[2][2]=2;
    A = pow(A,n);
    printf("%d
",A[0][0]);
}
int main (){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        solve();
    }
}

3420

题意：给你一个4*n的方格，问用1*2的去填有多少种方案。

这里给出Matrix67大神的一篇博客点我

里面的问题九就是这样一个问题，主要还是转移矩阵的构造，对于行数比较小的情况我们可以自己手动推，也更有助于理解。

但是实际上可以通过计算机来计算这个转移的矩阵，有点类似DFA。

我们只需要给他转移的规则就可以构造出这个矩阵(记忆化搜索)具体的看代码吧

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#define maxn 50010
#define maxm 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef vector<int>vec;
typedef vector<vec>mat;
typedef long long ll;
int mod;
mat mul(mat &A,mat &B){
    mat C (A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i){
        for(int k=0;k<B.size();++k){
            for(int j=0;j<B[0].size();++j){
                C[i][j]=(C[i][j]+(A[i][k]*B[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return C;
}
mat pow(mat A,ll n){
    mat B (A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i)B[i][i]=1;
    while(n>0){
        if(n&1)B = mul(B,A);
        A = mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}
int n;
int dp[17][17];
void dfs(int i,int s){
    if(dp[i][s]==1)return;
    dp[i][s]=1;
    for(int k=0;k<4;++k){
        if(k<3&&!(s&(1<<k))&&!(s&(1<<(k+1)))){
            dfs(i,s+(1<<k)+(1<<(k+1)));
        }
    }
}
void solve(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<(1<<4);++i)dfs(i,(1<<4)-1-i);
    mat A(16,vec(16));
    mat I(16,vec(16));
    for(int i=0;i<16;++i){
        for(int j=0;j<16;++j){
            if(i==j)I[i][j]=1;
            else I[i][j]=0;
            A[i][j]=dp[i][j];
           // cout<<A[i][j]<<" ";
        }
        //cout<<endl;
    }
    A = pow(A,n+1);
    A  = mul(I,A);
    printf("%d
",A[15][0]);
}
int main (){
    int t;
    while(scanf("%d%d",&n,&mod)!=EOF){
        if(mod==0&&n==0)break;
        solve();
    }
}

3233

题意给你矩阵A 求sum(A^0+A^1+...+A^k)%m

有了这个就可以直接搞了。实际上有更快的算法，基本原理就是Matrix里面写的

A^1+A^2+...+A^6 = (A^1+A^2+A^3)+A^3* (A^1+A^2+A^3)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#define maxn 50010
#define maxm 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef vector<int>vec;
typedef vector<vec>mat;
typedef long long ll;
int mod;
mat mul(mat &A,mat &B){
    mat C (A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i){
        for(int k=0;k<B.size();++k){
            for(int j=0;j<B[0].size();++j){
                C[i][j]=(C[i][j]+(A[i][k]*B[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return C;
}
mat pow(mat A,ll n){
    mat B (A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();++i)B[i][i]=1;
    while(n>0){
        if(n&1)B = mul(B,A);
        A = mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}
int n;
mat M;
void solve(int k){
    mat A(2*n,vec(2*n));
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            A[i][j]=M[i][j];
        }
        A[i+n][i]=A[i+n][i+n]=1;
    }
    A = pow(A,k+1);
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            int a = A[n+i][j]%mod;
            if(i==j)a = (a+mod-1)%mod;
            printf("%d%c",a,j+1==n?'
':' ');
        }

    }
}
int main (){
    int k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF){
        M = mat(n,vec(n));
        for(int i=0;i<n;++i){
            for(int j=0;j<n;++j){
                scanf("%d",&M[i][j]);
            }
        }
        solve(k);
    }
}

矩阵快速幂的题目主要还是构造矩阵，如何把题目转化为矩阵这一步才是关键！！！！