树状数组是一种优雅的数据结构，利用的是前缀和的思想，相当于是线段树的一部分，常常用来快速解决区间求和问题，比相应的线段树要快，因为常数小。
单点更新+区间求和
这个是树状数组最最基础的应用了
给个例题 hdu 1166
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<cmath> 9 #include<vector> 10 #define maxn 50010 11 #define maxm 100010 12 #define mod 1000000000000000000 13 #define INF 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 inline int lowbit(int x){ 16 return x&-x; 17 } 18 struct BIT{ 19 int N; 20 int bit[maxn*2]; 21 void init(int *a,int n){//建立bit 22 N=n; 23 memset(bit,0,sizeof(bit)); 24 for(int i=1;i<=N;++i){ 25 add(i,a[i]); 26 } 27 } 28 int sum(int x){//[1,x]前缀和 29 int ans =0; 30 for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))ans+=bit[i]; 31 return ans; 32 } 33 void add(int x,int v){//单点修改 34 for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i))bit[i]+=v; 35 } 36 }T; 37 int a[maxn];//原数组 38 int main (){ 39 int t; 40 int n; 41 scanf("%d",&t); 42 for(int Case=1;Case<=t;++Case){ 43 scanf("%d",&n); 44 for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]); 45 T.init(a,n); 46 char cmd[10]; 47 printf("Case %d: ",Case); 48 while(scanf("%s",&cmd)){ 49 if(strcmp(cmd,"End")==0)break; 50 int x,y; 51 scanf("%d%d",&x,&y); 52 if(strcmp(cmd,"Query")==0)printf("%d ",T.sum(y)-T.sum(x-1)); 53 else if(strcmp(cmd,"Add")==0)T.add(x,y); 54 else T.add(x,-y); 55 } 56 } 57 }
区间更新+区间求和
首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]…A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示
A[i]…A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：
1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]…A[n]同时增加d，但这样A[t+1]…A[n]就多加了d，所以
2）再令delta[t+1] = delta[t+1] – d，表示将A[t+1]…A[n]同时减d
然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]…A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+…+A[i]，则
A[s]+…+A[t] = sum[t] – sum[s-1]，
那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始
值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么
sum[x] = org[1]+…+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+…+delta[x]*1
= org[1]+…+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))
= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) – segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和
delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<cmath> 9 #include<vector> 10 #define maxn 100010 11 #define maxm 100010 12 #define mod 1000000000000000000 13 #define INF 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 typedef long long ll; 16 inline int lowbit(int x){ 17 return x&-x; 18 } 19 struct BIT{ 20 int n; 21 ll bit[maxn*2],bit2[maxn*2]; 22 void init(int N){//建立bit 23 n=N; 24 memset(bit,0,sizeof(bit)); 25 memset(bit2,0,sizeof(bit2)); 26 } 27 void add(ll *t,int x,ll v){//单点加减 28 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=v; 29 } 30 ll sum(ll *t,int x){//[1,x]前缀和 31 ll ans=0; 32 for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))ans+=t[i]; 33 return ans; 34 } 35 void update(int l,int r,ll k){//区间加减 36 add(bit,l,k); 37 add(bit,r+1,-k); 38 add(bit2,l,k*l); 39 add(bit2,r+1,-k*(r+1)); 40 } 41 ll getsum(int x){ 42 return sum(bit,x)*(x+1)-sum(bit2,x); 43 } 44 ll query(int l,int r){//区间求和 45 return getsum(r)-getsum(l-1); 46 } 47 }T; 48 ll a[maxn]; 49 int main (){ 50 int n,m; 51 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 52 T.init(n); 53 for(int i=1;i<=n;++i){ 54 scanf("%lld",&a[i]); 55 T.update(i,i,a[i]); 56 } 57 char cmd[10]; 58 while(m--){ 59 scanf("%s",&cmd); 60 if(cmd[0]=='Q'){ 61 int x,y; 62 scanf("%d%d",&x,&y); 63 printf("%lld ",T.query(x,y)); 64 } 65 else { 66 int x,y; 67 ll z; 68 scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z); 69 T.update(x,y,z); 70 } 71 } 72 } 73 }
树状数组对于线段树来说写起来简单且效率高，但很多的问题是树状数组无法解决的。