计算机组成结构 海明校验码

照班一下海明效验码的定义：

海明码（Hamming Code）是利用奇偶性来检错和纠错的校验方法。海明码的构成方法是在数据位之间的确定位置插入k个校验位，通过扩大吗距来实现检错和纠错。对于数据位m的数据，加入k位的校验码,它应满足：

2^k>m+k+1

我一直感觉很难理解是因为校验位的位置每次都是2^0,21,2^3,..2k
为什么是这个位置呢？
我的理解是为了使用二进制表示所有的数，对于k位的2进制，最大可用表示的数字为2^{k-1,所以为码的长度m+k不能超过2}k - 1
这就是加入k位校验码的所能表示的极限。
那么位于2^k的数字能表现的位只能是k位上取1的数。
接下来举一个具体的例子来解释我的理解
以1010110这个二进制数为例解释海明码的编码和校验方法。

编码

1.确定校验码的位数x

设数据有n位，校验码有x位。则校验码一共有2x种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下2x-1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位，因此x应该满足

2x-1 ≥　n+x

使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中，n=7，解得x=4。

2.确定校验码的位置

校验码在二进制串中的位置为2的整数幂。剩下的位置为数据。如图所示。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

3.求出校验位的值

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

为了求出x2,要使所有位置的第二位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。即x2¹1⁰1^0 = 0。因此x2 = 1。
在图中是2、3、6、7、10、11位置是第二位是1的数据

因此：因此1010110的海明码为01110100110。

校验

假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：
将所有位置形如xxx1, xx1x, x1xx, 1xxx的数据分别异或。
xxx1: 0¹0⁰1^1 = 1
xx1x: 1¹1⁰1^1 = 1
x1xx: 1⁰1^0 = 0
1xxx: 0¹1^1 = 1
以上四组中，如果一组异或值为1，说明该组中有数据出错了。xxx1 xx1x 1xxx的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。
总结：海明码具有纠错的能力但只是错一位的情况
如果需要纠错d位，需要码距为2d+1,检错d位需要的码距位d+1
注：用例来自https://www.cnblogs.com/scrutable/p/6052127.html