【IOI1998】Polygon

一道区间dp题，不少细节。

一开始我想定义f[i][j]表示区间[i,j]通过某种合并之后的最大值，之后这道题就等同于“NOI1995石子合并”。

但是转念一想，这道题有加法和乘法两种运算，如果单看加法，以上思路正确。但是因为乘法的存在，两个较小的数（负数）相乘或许会大于两个最大数相乘，因此以上思路在这里出现了错误。

因此，我们定义maxx[i][j],minn[i][j]分别表示区间[i,j]通过某种合并之后的最大值、最小值。

1、如果当前枚举决策为k，而且运算符为加号，则有

　maxx[i][j]=max(maxx[i][k-1]+maxx[k][j]);

　minn[i][j]=min(minn[i][k-1]+minn[k][j]);

 如果运算符为乘号，则有

　maxx[i][j]=max(maxx[i][k-1]*maxx[k][j]);
　maxx[i][j]=max(minn[i][k-1]*minn[k][j]);
　minn[i][j]=min(maxx[i][k-1]*maxx[k][j]);
　minn[i][j]=min(minn[i][k-1]*minn[k][j]);
　minn[i][j]=min(maxx[i][k-1]*minn[k][j]);
　minn[i][j]=min(minn[i][k-1]*maxx[k][j]);

因此正确的算法就得出来了，我们枚举起始的位置开始计算即可，时间复杂度为O(n⁴).

在这里我们将这个环拆开并复制一倍，然后在这个两倍长的链上做一次dp，最后枚举起点选出答案即可，时间复杂度为O(n³).

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,maxx[60<<1][60<<1],minn[60<<1][60<<1],a[60<<1];
char op[60<<1];
int main() {
    cin>>n;
    memset(minn,0x3f,sizeof(minn));
    memset(maxx,-0x3f,sizeof(maxx));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        char x;
        int y;
        cin>>x>>y;
        a[i]=a[i+n]=y;
        op[i]=op[i+n]=x;
    }
    for(int i=1;i<=n<<1;i++) 
        maxx[i][i]=minn[i][i]=a[i];
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        for(int l=1;l+i-1<=2*n;l++) {
            for(int k=l+1;k<=l+i-1;k++) {
                if(op[k]=='t') {
                    maxx[l][l+i-1]=max(maxx[l][l+i-1],maxx[l][k-1]+maxx[k][l+i-1]);
                    minn[l][l+i-1]=min(minn[l][l+i-1],minn[l][k-1]+minn[k][l+i-1]);
                }
                else {
                    maxx[l][l+i-1]=max(maxx[l][l+i-1],maxx[l][k-1]*maxx[k][l+i-1]);
                    maxx[l][l+i-1]=max(maxx[l][l+i-1],minn[l][k-1]*minn[k][l+i-1]);
                    minn[l][l+i-1]=min(minn[l][l+i-1],maxx[l][k-1]*maxx[k][l+i-1]);
                    minn[l][l+i-1]=min(minn[l][l+i-1],minn[l][k-1]*minn[k][l+i-1]);
                    minn[l][l+i-1]=min(minn[l][l+i-1],maxx[l][k-1]*minn[k][l+i-1]);
                    minn[l][l+i-1]=min(minn[l][l+i-1],minn[l][k-1]*maxx[k][l+i-1]);
                }
            }
        }
    }
    int ans=-0x7fffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,maxx[i][i+n-1]);
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(ans==maxx[i][i+n-1]) cout<<i<<" ";
    return 0; 
}