[笔记]后缀数组SA

参考资料：
1.后缀数组详解
2.后缀数组-学习笔记
3.后缀数组——处理字符串的有力工具

定义

\(SA\)排名为\(i\)的后缀的位置
\(rk\)位置为\(i\)的后缀的排名
\(tp\)第二关键字的排名为\(i\)的后缀的位置，还被用作\(rank\)的暂存
\(tax\)每个排名对应的后缀数量
后缀数组就是为了求出\(sa\)和\(rk\)

性质

\(rk[sa[i]]=i\) \(sa[rk[i]]=i\)

$LCP(x,y) $：字符串x与字符串y的最长公共前缀，在这里指x号后缀与与y号后缀的最长公共前缀

\(height[i]=lcp ( sa[i],sa[i - 1] )\)，即排名为\(i\)的后缀与排名为\(i−1\)的后缀的最长公共前缀

\(H[i]：height[rak[i]]\)，即\(i\)号后缀与它前一名的后缀的最长公共前缀

\(H[i] \geqslant H[i - 1] - 1\) 证明

$LCP(i,j)=LCP(j,i) $

\(LCP(i,i)=len(sa[i])=n-sa[i]+1\)

\(LCP(i,k)=min\left\{height[j] \right\}(i+1<=j<=k)\)

\(S\)不同的子串个数\(\dfrac{n(n+1)}{2} -\sum_{i=1}^nheight[i]\)

代码

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <string>
#define R register int

using namespace std;
const int N = 1000005;
string s;
/* sa[i]：排名为i的后缀的位置
rak[i]：从第i个位置开始的后缀的排名，下文为了叙述方便，把从第i个位置开始的后缀简称为后缀i
tp[i]：基数排序的第二关键字，意义与sa一样，即第二关键字排名为i的后缀的位置
tax[i]：i号元素出现了多少次。辅助基数排序
s：字符串，s[i]表示字符串中第i个字符串*/
int n, m, sa[N], rk[N], tp[N], c[N];
void _sort() {
	for(R i = 1; i <= m; ++i) c[i] = 0;
	for(R i = 1; i <= n; ++i) c[rk[i]]++;
	for(R i = 1; i <= m; ++i) c[i] += c[i - 1];
	for(R i = n; i >= 1; --i) sa[c[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
}
void SA() {
	m = 150;
	for(R i = 1; i <= n; ++i) rk[i] = s[i - 1], tp[i] = i;
	_sort();
	for(R w = 1, p = 0; p < n && w <= n; m = p, w <<= 1) {
		p = 0;
		for(R i = 1; i <= w; ++i) tp[++p] = n - w + i;
		for(R i = 1; i <= n; ++i) if(sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;
		_sort();
		swap(tp, rk);
		rk[sa[1]] = p = 1;
		for(R i = 2; i <= n; ++i)
			rk[sa[i]] = (tp[sa[i - 1]] == tp[sa[i]] && tp[sa[i - 1] + w] == tp[sa[i] + w])
			? p : ++p;
	}
}
/*i号后缀：从i开始的后缀
lcp(x,y)：字符串x与字符串y的最长公共前缀，在这里指x号后缀与与y号后缀的最长公共前缀
height[i]：lcp(sa[i],sa[i-1])，即排名为i的后缀与排名为i-1的后缀的最长公共前缀
H[i]：height[rak[i]]，即i号后缀与它前一名的后缀的最长公共前缀*/
int Height[N];
void Get() {
	int j, k = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(k) k--;
		j = sa[rk[i] - 1];
		while(s[i + k - 1] == s[j + k - 1]) ++k;
		Height[rk[i]] = k;
	}
}
int main()
{
	cin >> s;
	n = s.length();
	SA();
	for(R i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", sa[i]);
	cout << endl;
	Get();
	return 0;
}

Problem

P2408 不同子串个数

\(ans=\dfrac{n(n+1)}{2} -\sum height[i]\)

Luogu

P3809 【模板】后缀排序
P4070 [SDOI2016]生成魔咒
P4051 [JSOI2007]字符加密
P2463 [SDOI2008]Sandy的卡片
P2408 不同子串个数