求斐波那契数列的第n项

斐波那契数列的定义如下：

 

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

 

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。

Input

输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。

Output

输出F(n) % 1000000009的结果。

Input示例

11

Output示例

89

因为十分的大，如果用数组来保存，肯定会时间超限，因此用矩阵快速幂可以很好的解决。
矩阵快速幂与快速幂类似，都是通过不断二分减少计算次数来实现目标。只不过矩阵快速幂通过转移方程将具有一般通式的方程转化为幂级来计数，就比方这个斐波那契数列的第n项。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/stck:1024000000,1024000000")
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define max(x,y) (x>=y?x:y)
#define min(x,y) (x<=y?x:y)
#define MAX 100000000000000000
#define MOD 1000000009
#define pi acos(-1.0)
#define ei exp(1)
#define PI 3.1415926535897932384626433832
#define ios() ios::sync_with_stdio(true)
#define INF 1044266558
#define mem(a) (memset(a,0,sizeof(a)))
typedef long long ll;
//矩阵快速幂
struct matrix
{
    ll a[2][2];
};
matrix matrix_multiply(matrix x,matrix y)
{
    matrix ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%MOD;
    return ans;
}
void matrix_pow(ll n)
{
    matrix ans,pos;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    pos.a[0][0]=pos.a[0][1]=pos.a[1][0]=1;
    pos.a[1][1]=0;
    for(int i=0;i<2;i++)
        ans.a[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=matrix_multiply(ans,pos);
        n>>=1;
        pos=matrix_multiply(pos,pos);
    }
    printf("%lld",ans.a[0][1]);
}
int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    matrix_pow(n);
    return 0;
}