hdu2844 多重背包模板

01 背包

有n 种不同的物品，每个物品有两个属性，size 体积，value 价值，每种物品只有一个，现在给一个容量为 w 的背包，问最多可带走多少价值的物品。 

int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值  
for (int i=0; i<n; i++)  
    for (int j=w; j>=size[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]); //逆序

完全背包 

如果物品不计件数，就是每个物品有无数件的话，稍微改下即可  

for (int i=0; i<n; i++)  
    for (int j=size[i]; j<=w; j++)  
        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  //正序

多重背包既是每个物体有一定的重量w和价值v，并且有一定的数量cnt,设m为背包可包含重量；

#include <iostream>
#include <map>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
using namespace std;
int n,m,a[105],num[105],dp[100005];
void comdp(int w,int v)
{
    int i;
    for(i=w; i<=m; i++)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v);
}
void zeroone(int w,int v)
{
    int i;
    for(i=m; i>=w; i--)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v);
}
void multidp(int w,int v,int cnt)//此时开始多重背包，dp[i]表示背包中重量为i时所包含的最大价值
{
    if(cnt*w>=m)//此时相当于物品数量无限进行完全背包
    {
        comdp(w,v);
        return;
    }
    int k=1;//否则进行01背包转化，具体由代码下数学定理可得
    while(k<=cnt)
    {
        zeroone(k*w,k*v);
        cnt-=k;
        k*=2;
    }
    zeroone(cnt*w,cnt*v);
    return ;
}

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.

（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。

（证毕！）